Двойной интеграл в полярных координатах

Механические приложения

Пример 7. Пластина имеет форму прямоугольника со сторонами длиной и . Найти массу этой пластины, если ее плотность распределения массы в произвольной точке равна квадрату расстояния от точки до одной из вершин пластины.

Решение. Введем прямоугольную систему координат так, что начало координат совпадает с вершиной, а стороны прямоугольника расположены на осях координат (см. рисунок).

Тогда , масса пластины

.

Пример 8. Найти центр тяжести пластины примера 7.

Решение. Координаты центра тяжести материальной фигуры ищем по формулам и . Значение массы пластины можно считать известным (см. пример 7).
Вычислим соответствующие статистические моменты:

.

.

Поэтому ;

.

В частности, если , то центр
тяжести квадрата с есть точка , где
(см. рисунок).

9. Лекционное занятие.ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В КРИВОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ

Для вычисления двойного интеграла иногда удобно использовать не прямоугольные координаты , а некоторые другие координаты , которые часто называют криволинейными. Пусть известна связь между прямоугольными и криволинейными координатами

или в векторном виде .

Будем предполагать, что якобиан отличен от нуля.

Введем понятие координатных линий

Координатная линия это множество точек плоскости, у которых координата меняется, а координата фиксирована, ; при этом есть векторно-параметрическое уравнение линии ; вектор есть касательный вектор к линии (рис. 1).

Координатная линия это множество точек плоскости, у которых координата меняется, а координата фиксирована, ; при этом есть векторно-параметрическое уравнение линии ; вектор является касательным вектором к линии (рис. 1).

По определению, двойной интеграл функции по плоской области есть предел интегральной суммы функции по области , который не зависит от способа разбиения области на ячейки:

При использовании криволинейных координат удобно разбить область на ячейкикоординатными линиями Выделим одну из таких ячеек (рис. 2). Рассмотрим радиус-векторы точек и векторы ,

и площадь ячейки

Так как , то

Введем так называемый элемент площади в криволинейных координатах

Можно показать (строгое доказательство опускаем), что

Итак, получили следующее правило:

Для вычисления двойного интеграласледует

1) заменить на их выражения в криволинейной системе координат:

, ;

2) заменить область изменения переменных на область изменения переменных .

Замечание. Иногда удобнее вычислить не якобиан , а якобиан .

Можно показать, что (по аналогии с производной обратной функции ).

Пример 2. Найти массу пластины, ограниченной линиями если плотность .

Решение. Массу пластины вычислим по формуле .

В этой формуле фигура есть криволинейный четырехугольник (рис. 3), ограниченный параболами с осью симметрии и параболами с осью симметрии . Вычисление массы фигуры в прямоугольных координатах громоздко: нужно найти точки пересечения парабол, разбить фигуру на три части и вычислить три интеграла. Удобнее ввести криволинейные координаты (учитывая, что на границе области они постоянны: ) и вычислить якобиан

.

Тогда

Двойной интеграл в некоторых случаях, например, когда область интегрирования есть круг, сектор или ограничена линией, уравнение которой содержит , удобнее и проще вычислять в полярной системе координат.

Вспомним некоторые сведения о полярной системе координат. Полярная система состоит из полярной оси с началом в полюсе 0. Положение точки на плоскости характеризуется двумя полярными координатами и , где – длина радиус-вектора точки , – угол наклона радиус-вектора к полярной оси (рис. 4). Введем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 4. Тогда между прямоугольными координатами точки и ее полярными координатами существует следующая связь:

Вычислим якобиан

Тогда из формул получим

.

Пусть область заключена (рис. 4) между лучом с уравнением и лучом с уравнением и ограничена дугой с уравнением и дугой с уравнением . Тогда имеет место формула

Чтобы применять на практике формулу, рекомендуем:

1) построить область интегрирования;

2) в двойном интегралезаменить , на их выражения в полярной системе координат, т.е. , , , ;

3) записать получившийся двойной интеграл через повторный по формуле (7.23); в повторном интеграле сначала расставить внутренние пределы интегрирования, т.е. пределы изменения . Для этого надо двигаться по лучу, выходящему из полюса (рис. 5); на нем меняется от до ;

4) расставить внешние пределы интегрирования, определив лучи и , между которыми заключена фигура (внешние пределы всегда числа, а не функции);

5) вычислить внутренний интеграл при постоянном , затем – внешний интеграл.