Метод Ньютона

Метод Ньютона является одним из наиболее надежных, обеспечивающих быструю сходимость решения системы .

В методе Ньютона первого порядка функция небаланса токов заменяется разложением в ряд Тейлора в точке с текущим значением .

откуда определяется приращение

,

и новое значение узловых напряжений

.

Здесь используется та же матрица Якоби, требующая, правда, выполнения трудоёмкой операции обращения. Блок-схема алгоритма показана на рис. 19.

Блоки алгоритма выполняют следующие функции.

1. Исходное приближение .

2. Вычисление небалансов в узлах и нормы

.

3. Проверка условия .

4. Вычисление матрицы .

5. Обращение матрицы Якоби.

6. Вычисление очередного приближения .

Рис. 19. Блок схема

Проведенные исследования показывают, что вычисление обратной матрицы без значительного ухудшения сходимости может выполняться не на каждом шаге итеративного процесса, а 1 раз на 10-15 шагов:

Операция обращения матрицы может быть заменена решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

.

Для поиска неизвестного приращения обычно применяется метод исключения Гаусса, учитывающий слабую заполненность матрицы Якоби.

Дальнейшее улучшение сходимости достигается за счет использования метода Ньютона второго порядка.

В этом методе аппроксимирующая небалансы узловых токов функция заменяется рядом Тейлора с учетом еще одного слагаемого

Недостатком метода Ньютона является сложность алгоритма и сильная зависимость характера итерационного процесса от начального приближения.