Градиентный метод

Градиентный метод является одним из основных методов решения задач нелинейного программирования, т.е. поиска минимума некоторой целевой функции.

где – вектор неизвестных.

При решении системы нелинейных уравнений (1) целевая функция формируется как среднеквадратический небаланс узловых токов.

где – небаланс тока в i -м узле.

Использование градиентного метода позволяет учесть коэффициенты трансформации – . При этом принимается, что сопротивления трансформаторных ветвей вводятся приведенными к стороне высокого напряжения, а определяется отношением .

Действительная и мнимая составляющие тока небаланса определяются из (1)

где – множество узлов, включая балансирующий, которые имеют непосредственную связь с i -м; , – составляющие узлового тока; , – собственные проводимости узлов; , – взаимные проводимости.

Все элементы матрицы узловых проводимостей определяются по параметрам ветвей схемы сети с учетом ёмкостной проводимости ЛЭП и коэффициентов трансформации для узлов, соответствующих стороне среднего напряжения автотрансформаторов.

Поиск минимума осуществляется в соответствии с алгоритмом, блок-схема которого приведена на рис. 18. Для определения оптимального шага здесь используется пробный шаг , позволяющий оценить изменение функции в каждой точке в направлении антиградиента.

Блоки выполняют следующие функции:

1. Задание исходного приближения .

2. Определение .

3. Проверка условия .

4. Вычисление градиента .

5. Вычисление в конце пробного шага :

6. Вычисление градиента в конце пробного шага

7. Вычисление оптимального шага

Рис. 18. Блок схема 8. Рабочий шаг .

Составляющая градиента целевой функции по всем неизвестным составляющим узловых напряжений , , , , например, определяется следующим образом

(6)

Производные небалансов активного и реактивного токов по составляющим напряжений имеют вид:

(7)

Производные узловых токов можно получить из выражений:

(8)

Входящие в (7) производные будут:

(9)

Полученные по (7) с учетом (9) производные являются элементами матрицы , называемой матрицей Якоби.

При разделении векторов и на действительные и мнимые составляющие матрица Якоби разбивается на блочные подматрицы.

Недиагональные элементы подматриц определяются параметрами системы, причем некоторые проводимости, относящиеся к узлам среднего напряжения автотрансформаторов, зависят от положения отпаек.

Диагональные элементы подматриц определяются параметрами режима, т.е. узловыми мощностями и напряжениями.

Вектор-градиент в текущей точке определяется по следующему матричному выражению