Коэффициент корреляции рангов Спирмена (r) определяется по формуле
r = ,
где – квадраты разности рангов;
n – число наблюдений (число пар рангов).
Коэффициент корреляции рангов Кендалла (t) вычисляют по формуле
t = ,
где S – сумма разностей между числом последовательностей и числом инверсий по результативному признаку,
n – число наблюдений (пар рангов).
Коэффициенты Спирмена и Кендалла принимают значения от –1 до + 1. Чем ближе величина коэффициентов Спирмена и Кендалла по модулю к 1, тем сильнее связь между признаками.
Пример 2. По исходным данным предыдущего примера 1 рассчитать ранговые коэффициенты связи Спирмена и Кендалла.
Решение. Ранжируем значения факторного и результативного признаков (графы 4 и 5); находим разности рангов = – (графа 6).
Отрасль промышленности | х | у | ||||
Электроэнергетика | 1,127 | 10,96 | –1 | |||
Топливная | 2,630 | 19,35 | ||||
Черная металлургия | 1,632 | 9,35 | ||||
Цветная металлургия | 1,155 | 13,45 | –1 | |||
Машиностроение | 0,550 | 6,68 | ||||
Итого | – | – | – | – | – |
Полученные разности рангов () возводим в квадрат, находим их сумму (графа 7) и подставляем в формулу коэффициента Спирмена
|
|
r = = = = 0,7.
При вычислении коэффициента Кендалла значения факторного признакапредварительно ранжируем. Значения результативного признака записываем в соответствии с исходными данными.
Отрасль промышленности | х | у | P | Q | ||
Машиностроение | 0,550 | 6,68 | ||||
Электроэнергетика | 1,127 | 10,96 | ||||
Цветная металлургия | 1,155 | 13,45 | ||||
Черная металлургия | 1,632 | 9,35 | ||||
Топливная | 2,630 | 19,35 | ||||
Итого | – 2 |
Для каждого определяем:
– число следующих за ним рангов, больших по значению, чем данный ранг. Общее число таких случаев учитывают со знаком «+» и обозначают буквой P (графа 6);
– число следующих за ним рангов, меньших по значению, чем данный ранг. Общее число таких случаев учитывают со знаком «–» и обозначают буквой Q (графа 7).
Вычисляем S = P + Q = 8 + (–2) = 6.
Подставим в формулу коэффициента Кендалла полученные значения
t = = = 0,6.
Величины коэффициентов Спирмена и Кендалла свидетельствует о тесной зависимости среднемесячной заработной платы от уровня производительности труда в представленных отраслях экономики.
Для изучения степени тесноты связи между произвольным числом ранжированных количественных признаков вычисляют множественный коэффициент конкордации (W) по формуле
,
где S – отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов;
|
|
m – число ранжируемых признаков;
n – число наблюдений.
Эта формула применяется в том случае, когда ранги по каждому признаку не повторяются.
Если несколько значений имеют одинаковую количественную оценку, т. е. ранги повторяются, то применяют следующую формулу:
,
где t – число одинаковых рангов по каждому признаку.