Предельные теоремы устанавливают связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками СВ при большом числе испытаний.
¨ Неравенство Чебышева
Вероятность того, что отклонение СВ от своего математического ожидания будет по абсолютной величине не меньше любого положительного числа , ограничена сверху величиной (где – дисперсия СВ):
или |
►
Откуда получим: ■
· Из неравенства Чебышева следует, что, чем меньше дисперсия, тем меньше вероятность отклонения СВ от своего математического ожидания.
Неравенство Чебышева может использоваться только для относительно больших .
например:
1) тогда
– такая оценка не представляет интерес .
2)
¨ Теорема Чебышева
При неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое наблюдавшихся значений СВ, сходится по вероятности к её математическому ожиданию:
где – сколь угодно малое положительное число.
► Пусть в испытаниях значение появилось число раз ().
Рассмотрим среднее арифметическое наблюдённых значений СВ:
■
¨ Обобщённая теорема Чебышева
Если последовательность попарно независимых СВ X1, X2, …, Xn имеет конечные математические ожидания и дисперсии этих величин не превышают постоянного числа С, то среднее арифметическое СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:
или |
где – сколь угодно малое положительное число.
►Имеем последовательность СВ: X1, X2, …, Xn.
Среднее арифметическое СВ есть СВ
Для неё ,
.
Применим к СВ неравенство Чебышева:
Т.е. . Но .
Следовательно, учитывая что : ■
· Если в n испытаниях значение СВ Xi повторяется ni раз (), то:
1. среднее арифметическое СВ: ;
2. среднее арифметическое математических ожиданий СВ: .
Следствие. Если результаты измерений независимы, при этом совокупность СВ X1, X2,..,Xn имеет одно то же математическое ожидание () и дисперсии этих величин ограничены одной той же константой (С), то . Тогда:
или |
где – сколь угодно малое положительное число.
¨ Теорема Бернулли
При неограниченном увеличении числа независимых испытаний частота события А () сходится по вероятности к вероятности его появления в одном испытании :
или |
где – сколь угодно малое положительное число.
►Пусть производится n независимых испытаний. В каждом из них событие А может наступить с вероятностью . СВ – число появления события А в –ом опыте.
Каждая ДСВ имеет закон распределения: | |||
– число появления события А в n испытаниях.
Составим СВ: – частота появления события А в n испытаниях.
Для неё ,
.
Применим к СВ неравенство Чебышева: .
Т.е. .
Но . Следовательно, учитывая что : ■
¨ Теорема Пуассона
Если производится n независимых испытаний и вероятность появления события А в i-ом опыте равна , то при увеличении n частота события А появления в одном испытании сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей :
или |
где – сколь угодно малое положительное число.
¨ Центральная предельная теорема – теорема Ляпунова
Если СВ X1, X2, …, Xn попарно независимы и имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией , причём существует третий абсолютный момент, то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному, где имеет место равенство:
Где 1.
2. – функция Лапласа (табулирована).
¨ Теорема Муавра–Лапласа
Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью , то для любого интервала справедливо соотношение:
или |