Предельные теоремы теории вероятностей

Предельные теоремы устанавливают связь между теоретическими и экспериментальными характеристиками СВ при большом числе испытаний.

¨ Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение СВ от своего математического ожидания будет по абсолютной величине не меньше любого положительного числа , ограничена сверху величиной (где – дисперсия СВ):

или

►

Откуда получим: ■

· Из неравенства Чебышева следует, что, чем меньше дисперсия, тем меньше вероятность отклонения СВ от своего математического ожидания.

Неравенство Чебышева может использоваться только для относительно больших .

например:

1) тогда

– такая оценка не представляет интерес .

¨ Теорема Чебышева

При неограниченном увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое наблюдавшихся значений СВ, сходится по вероятности к её математическому ожиданию:

где – сколь угодно малое положительное число.

► Пусть в испытаниях значение появилось число раз ().

Рассмотрим среднее арифметическое наблюдённых значений СВ:

■

¨ Обобщённая теорема Чебышева

Если последовательность попарно независимых СВ X₁, X₂, …, X_n имеет конечные математические ожидания и дисперсии этих величин не превышают постоянного числа С, то среднее арифметическое СВ сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий:

или

где – сколь угодно малое положительное число.

►Имеем последовательность СВ: X₁, X₂, …, X_n_.

Среднее арифметическое СВ есть СВ

Для неё ,

Применим к СВ неравенство Чебышева:

Т.е. . Но .

Следовательно, учитывая что : ■

· Если в n испытаниях значение СВ X_i повторяется n_i раз (), то:

1. среднее арифметическое СВ: ;

2. среднее арифметическое математических ожиданий СВ: .

Следствие. Если результаты измерений независимы, при этом совокупность СВ X₁, X₂,..,X_n имеет одно то же математическое ожидание () и дисперсии этих величин ограничены одной той же константой (С), то . Тогда:

или

где – сколь угодно малое положительное число.

¨ Теорема Бернулли

При неограниченном увеличении числа независимых испытаний частота события А () сходится по вероятности к вероятности его появления в одном испытании :

или

где – сколь угодно малое положительное число.

►Пусть производится n независимых испытаний. В каждом из них событие А может наступить с вероятностью . СВ – число появления события А в –ом опыте.

Каждая ДСВ имеет закон распределения:

– число появления события А в n испытаниях.

Составим СВ: – частота появления события А в n испытаниях.

Для неё ,

Применим к СВ неравенство Чебышева: .

Т.е. .

Но . Следовательно, учитывая что : ■

¨ Теорема Пуассона

Если производится n независимых испытаний и вероятность появления события А в i-ом опыте равна , то при увеличении n частота события А появления в одном испытании сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей :

или

где – сколь угодно малое положительное число.

¨ Центральная предельная теорема – теорема Ляпунова

Если СВ X₁, X₂, …, X_n попарно независимы и имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и дисперсией , причём существует третий абсолютный момент, то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному, где имеет место равенство: