Частные случаи распределения непрерывной СВ

I. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СВ

Непрерывная СВ X имеет равномерное распределение на интервале , если на нём плотность распределения постоянна, а вне его – равна нулю:

Найдём дифференциальную функцию распределения СВ.

По свойствам дифференциальной функции имеем .

Найдём интегральную функцию распределения СВ.

1) .

2) .

3) .

В итоге

Найдём математическое ожидание.

.

Найдём дисперсию.

.

.

Найдём интервальную вероятность.

, где .

II. ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СВ

Непрерывная СВ X имеет показательное распределение, если плотность распределения подчинена закону:

Найдём интегральную функцию распределения СВ.

1)

2)

В итоге

Найдём математическое ожидание.

Найдём дисперсию.

Найдём интервальную вероятность.

, где

III. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СВ (ЗАКОН ГАУССА)

– занимает центральное место, т.к. он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения СВ.

Непрерывная СВ X имеет нормальное распределение, если плотность распределения подчинена закону:

Найдём интегральную функцию распределения СВ.

В итоге

Найдём математическое ожидание.

Следовательно, константа в формуле дифференциальной функции есть математическое ожидание данной СВ:

Найдём дисперсию.

константа в формуле дифференциальной функции есть среднее квадратическое отклонение: .

Найдём интервальную вероятность.

, где

Замечания:

1. Для симметричного относительно интервала имеем:

Тогда

2. Определим и найдём

Получили правило «трёх сигм»:

Практически все значения СВ, распределённой по нормальному закону, попадают в интервал .

3. Найдём вероятность "односторонней" ошибки – слишком сильного отклонения от среднего в одну сторону.

Учитывая симметрию графика функции, имеем: