Основные правила дифференцирования вектор-функций

Если и дифференцируемые вектор-функции, - постоянный вектор, - постоянный скаляр, - скалярная функция, то:

Уравнение касательной к пространственной кривой , , в точке , которой соответствует значение параметра , имеет вид: , а уравнение нормальной плоскости в той же точке – вид:

.

Кривизной кривой в точке называется число , где - угол поворота касательной, соответствующий дуге данной кривой, а - длина этой дуги.

Кривизна плоской кривой вычисляется по формуле и по формуле , если кривая задана в параметрическом виде уравнениями , .

Величина называется радиусом кривизны.

5.346. Найти единичный касательный вектор годографа вектор-функции при :

а) , ; б) , .

5.347. Найти производные вектор-функций :

а) ; б) ;

в) ; г) .

5.348. Найти производные вектор-функций при :

а) , ;

б) , .

5.349. Для каждой из следующих кривых написать уравнения касательной и нормальной плоскости в данной точке:

а) при ;

б) при .

5.350. Вычислить радиус кривизны кривых в данной точке:

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , ;

д) , ; е) , .

5.351. Вычислить радиус кривизны кривых в данной точке:

а) , ; б) , ;

в) , ; г) ,