Доказательство и опровержение

Под доказательством в логике понимается процедура установления истинности некоторого утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже известна и из которых с необходимостью вытекает первое.

В доказательстве различаются тезис — утверждение, которое нужно доказать, основание (аргументы) — те положения, с помощью которых доказывается тезис, и логическая связь между аргументами и тезисом. Понятие доказательства всегда предполагает, таким образом, указание посылок, на которые опирается тезис, и тех логических правил, по которым осуществляются преобразования утверждений в ходе доказательства. В обычной практике мы редко формулируем все используемые посылки и, в сущности, никогда не обращаем внимания на применяемые нами правила логики.

Доказательство — один из многих способов убеждения. В науке это один из основных методов. Можно сказать, что научный метод убеждения является прежде всего методом строгих и точных доказательств. Требование доказательности научного рассуждения определяет то "общее освещение", которое модифицирует попавшие в сферу его действия цвета. Этим "общим освещением" пронизываются все другие требования к научной аргументации. Без него она неизбежно вырождается в бездоказательный набор общих деклараций и поучений, в апелляцию к вере и эмоциям.

Задача доказательства — исчерпывающе утвердить обоснованность доказываемого тезиса.

Раз в доказательстве речь идет о полном подтверждении, связь между аргументами и тезисом должна носить дедуктивный характер. По своей форме доказательство — дедуктивное умозаключение или цепочка таких умозаключений, ведущих от истинных посылок к доказываемому положению.

Нередко в понятие доказательства вкладывается более широкий смысл. При этом под доказательством понимается любая процедура обоснования истинности тезиса, включающая как дедукцию, так и индуктивное рассуждение, ссылки на связь доказываемого положения с фактами, наблюдениями и т. д. Расширительное истолкование доказательства является обычным в гуманитарных науках. Оно встречается и в экспериментальных, опирающихся на наблюдения, рассуждениях.

Как правило, широко понимается доказательство и в обычной жизни. Для подтверждения выдвинутой идеи активно привлекаются факты, типичные в определенном отношении явления и т. п. Дедукции в этом случае, конечно, нет, речь может идти только об индукции. Но тем не менее предлагаемое обоснование нередко называют доказательством.

Широкое употребление понятия "доказательство" само по себе не ведет к недоразумениям. Но только при одном условии. Нужно постоянно иметь в виду, что индуктивное обобщение, переход от частных фактов к общим заключениям дает не достоверное, а лишь вероятное знание.

Многие наши утверждения не являются ни истинными, ни ложными. Оценки, правила, советы, требования, предостережения не описывают рассматриваемую ситуацию. Они указывают, какой она должна стать, в каком направлении ее надо преобразовать. От описаний мы вправе требовать, чтобы они являлись истинными. Но удачный приказ, совет и т. д. мы характеризуем как эффективный, целесообразный, но не как истинный.

В стандартном определении доказательства используется понятие истины. Доказать некоторый тезис — значит логически вывести его из других являющихся истинными положений. Но есть утверждения, не связанные с истиной. Очевидно также, что, оперируя ими, можно и нужно быть и логичным, и доказательным.

Обычно доказательство слагается из серии шагов. Нужно уметь проследить каждый шаг доказательства, но не менее важно понять доказательство в целом, как единую конструкцию, каждая часть которой необходима на своем месте.

С точки зрения общего движения мысли, все доказательства подразделяются на прямые и косвенные. При прямом доказательстве задача состоит в том, чтобы подыскать такие убедительные аргументы, из которых по логическим правилам получается тезис.

В построении прямого доказательства можно выделить два связанных между собой этапа: отыскание тех признанных обоснованными утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление логической связи между найденными аргументами и тезисом. Нередко первый этап считается подготовительным, и под доказа­тельством понимается дедукция, связывающая подобранные аргументы и доказываемый тезис.

Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения (антитезиса).

Как с иронией замечает математик Д. Пойа, "косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приемом политикана, поддерживающего своего кандидата тем, что опорочивает репутацию кандидата другой партии". В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того чтобы прямо отыскивать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоречащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным.

Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является, как говорят, доказательством от противного.

Ход мысли в косвенном доказательстве определяется тем, что вместо обоснования справедливости тезиса стремятся показать несостоятельность его отрицания. В зависимости от того, как решается последняя задача, можно выделить несколько разновидностей косвенного доказательства.

Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопоставлением вытекающих из него следствий с фактами.

Ложным будет также положение, из которого выводится внутренне противоречивое высказывание или высказывание о тождестве утверждения и отрицания.

Один из приемов косвенного доказательства — выведение из антитезиса логического противоречия. Если антитезис содержит противоречие, он явно ошибочен. Тогда его отрицание — тезис доказательства — верно.

Схема косвенного доказательства выражается логическим законом косвенного доказательства:

(~а ® b)&(~а ® b) ® а,

"если не-а имплицирует b и не-а имплицирует также не-b, то верным является а", или в другой форме:

(~ а ® b & ~ b) ® а,

"если не-а имплицирует логическое противоречие, то верно а".

Если имеется в виду только та часть подобных доказательств, в которой показывается ошибочность какого-либо предположения, они именуются по традиции приведением к абсурду. Ошибочность предположения вскрывается тем, что из него выводится абсурд, т. е. логическое противоречие.

Имеется еще одна разновидность косвенного доказательства, когда прямо не приходится искать ложные следствия. Дело в том, что для доказательства утверждения достаточно показать, что оно логически вытекает из своего собственного отрицания. Этот прием опирается на логический закон Клавия.

К примеру, если из допущения, что дважды два равно пяти, выведено, что это не так, тем самым доказано, что дважды два не равняется пяти.

По такой схеме рассуждал еще Евклид в своей "Геометрии". Эту же схему использовал однажды древнегреческий философ Демокрит в споре с другим древнегреческим философом, софистом Протагором. Протагор утверждал, что истинно все то, что кому-либо приходит в голову. На это Демокрит ответил, что из положения "Каждое высказывание истинно" вытекает истинность и его отрицания "Не все высказывания истинны". И, значит, это отрицание, а не положение Протагора на самом деле истинно.

Во всех рассмотренных косвенных доказательствах выдвигаются две альтернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге остается только тезис.

Можно не ограничивать число принимаемых во внимание возможностей только двумя. Это приведет к так называемому разделительному косвенному доказательству, или доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной области.

Например, нужно доказать, что одна величина равна другой. Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или первая больше второй, или, наконец, вторая больше первой. Если удалось показать, что ни одна из величин не превосходит другую, два варианта будут отброшены и останется только третий: величины равны.

Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом. Символически:

(a v b V с) & ~ а& ~ b ® с,

"имеет место или а, или b, или с, но неверно, что а, и неверно, что b, значит, с".

Опровержение — это рассуждение, направленное против выдвинутого положения и имеющее своей целью установление его ошибочности или недоказанности.

Наиболее распространенный прием опровержения — выведение из опровергаемого утверждения следствий, противоречащих истине. Хорошо известно, что, если даже одно единственное логическое следствие некоторого положения неверно, ошибочным будет и само это положение.

Другой прием установления несостоятельности выдвигаемого кем-либо положения — доказательство справедливости отрицания этого положения. Утверждение и его отрицание не могут быть одновременно истинными. Как только удается показать, что верно отрицание рассматриваемого положения, вопрос об истинности самого этого положения автоматически отпадет. Доста­точно, скажем, показать одного черного лебедя, чтобы опровергнуть убеждение в том, что лебеди бывают только белыми.

В романе И. С. Тургенева "Рудин" есть такой диалог: "Стало быть, по-вашему, убеждений нет?" — "Нет — и не существует".— "Это ваше убеждение?" — "Да".— "Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно на первый случай". Ошибочному мнению, что никаких убеждений нет, противопоставляется его отрицание: есть, по крайней мере, одно убеждение, что убеждений нет. Особенность этого случая в том, что отрицание вытекает из самого исходного положения и не требует специального обоснования.

Эти два приема применимы для опровержения любого утверждения, независимо от того, поддерживается оно какими-либо аргументами или нет. Выводя из утверждения неверное следствие или показывая справедливость отрицания утверждения, мы тем самым доказываем ложность самого утверждения. И какие бы аргументы ни приводились в защиту последнего, они не составят его доказательства. Доказать, как известно, можно только истинное утверждение.

Если положение выдвигается с каким-либо обоснованием, операция опровержения может быть направлена против обоснования. В этом случае надо показать, что приводимые аргументы ошибочны: вывести из них следствия, которые окажутся в итоге несостоятельными, или доказать утверждения, противоречащие аргументам.

Следует иметь в виду, что опровержение доводов, приводимых в поддержку какого-либо положения, не означает еще неправильности самого этого положения. Утверждение, являющееся по сути дела верным, может отстаиваться с помощью ошибочных или слабых доводов. Выявив это, мы демонстрируем именно ненадежность предлагаемого обоснования, а не ложность утверждения. Неопытный спорщик, как правило, отказывается от своей позиции, обнаружив, что приводимые им доводы неубедительны. Нужно, однако, помнить, что правильная в своей основе идея иногда подкрепляется не очень надежными, а то и просто ошибочными, соображениями. Когда это выясняется, следует искать другие, более веские аргументы, а не спешить отказываться от самой идеи.

Мало раскритиковать аргументы оппонента в споре. Этим будет показано только то, что его позиция плохо обоснована и шатка. Чтобы вскрыть ее ошибочность, надо убедительно обосновать противоположную позицию.

Особое значение при опровержении имеют факты. Ссылка на верные и неоспоримые факты, противоречащие ложным или сомнительным утверждениям оппонента,— самый надежный и успешный способ опровержения. Реальное явление или событие, не согласующееся со следствиями какого-либо универсального положения, опровергает не только эти следствия, но и само положение. Факты, как известно, упрямая вещь. При опровержении ошибочных, оторванных от реальности, умозрительных конструкций "упрямство фактов" проявляется особенно ярко.

Опровержение может быть направлено на саму связь аргументов и доказываемого положения. В этом случае надо показать, что тезис не вытекает из доводов, приведенных в его обоснование. Если между аргументами итезисом нет логической связи, то нет и доказательства тезиса с помощью указанных аргументов. Из этого не следует, конечно, ни то, что аргументы ошибочны, ни то, что тезис ложен.

Эксперименты, проводившиеся психологами, показывают, что едва ли не каждое четвертое наше умозаключение не опирается на закон логики, а значит, является неправильным.

Доказательство — это логическая, дедуктивная связь принятых аргументов и выводимого из них тезиса. Логические ошибки в доказательстве можно разделить на относящиеся к тезису, к аргументам и к их связи.

Формальная ошибка имеет место тогда, когда умозаключение не опирается на логический закон, и заключение не вытекает из принятых посылок. Иногда эту ошибку сокращенно так и называют — "не вытекает".

Иллюзия своеобразной "логичности" рассуждения создается чисто внешним для существа дела перечислением..

В гробнице египетских фараонов была найдена проволока. На этом основании один "египтолог" высказал предположение, что в Древнем Египте был известен телеграф. Услышав об этом, другой "исследователь" заключил, что, поскольку в гробницах ассирийских царей никакой проволоки не найдено, в Древней Ассирии был уже известен беспроволочный телеграф.

Предположение "египтолога" — если это не шутка — очевидная нелепость. Еще большая глупость — если это опять-таки не шутка — заключение "ассириолога". И, конечно же, никакой логической связи между этими "предположениями" и сделанными как бы на их основе "заключениями" нет.

Встречаются, к счастью довольно редко, хаотичные, аморфные рассуждения. Внешне они имеют форму доказательств и даже претендуют на то, чтобы считаться ими. В них есть слова "таким образом", "следовательно", "значит" и подобные им, призванные указывать на логическую связь аргументов и доказываемого положения. Но эти рассуждения доказательствами на самом деле не являются, поскольку логические связи подменяются в них психологическими ассоциациями.

Характерная ошибка в отношении тезиса — подмена тезиса, неосознанное или умышленное замещение его в ходе доказательства каким-то другим утверждением. Подмена тезиса ведет к тому, что доказывается не то, что требовалось доказать.

Тезис может сужаться, и в таком случае он остается недоказанным. Например, для доказательства того, что сумма углов треугольника равна двум прямым, недостаточно доказать, что эта сумма не больше 180". Для обоснования того, что человек должен быть честным, мало доказать, что разумному человеку не следует лгать.

Тезис может также расширяться. В этом случае нужны дополнительные основания. И может оказаться, что из них вытекает не только исходный тезис, но и какое-то иное, уже неприемлемое утверждение. "Кто доказывает слишком много, тот ничего не доказывает" — эта старая латинская пословица как раз и имеет в виду такую опасность.

Иногда случается полная подмена тезиса, притом она не так редка, как это может показаться. Обычно она затемняется какими-то обстоятельствами, связанными с конкретной ситуацией, и благодаря этому ускользает от внимания.

Широкую известность получил случай с древнегреческим философом Диогеном, которого однажды за подмену тезиса спора даже побили. Один философ доказывал, что в мире, как он представляется нашему мышлению, нет движения, нет многих вещей, а есть только одна единственная вещь, притом неподвижная и круглая. В порядке возражения Диоген встал и начал не спеша ходить перед спорящими. За это его, если верить некоторым старым источникам, и побили палкой.

Речь шла о том, что для нашего ума мир неподвижен. Диоген же своим хождением пытался подтвердить другую мысль: в чувственно воспринимаемом мире движение есть. Но это и не оспаривалось. Автор мнения, что движения нет, считал, что чувства, говорящие о множественности вещей и их движении, просто обманывают нас.

Разумеется, мнение, будто движения нет, ошибочно, как ошибочна идея, что чувства не дают нам правильного представления о мире. Но раз обсуждалось такое мнение, нужно было говорить о нем, а не о чем-то другом, хотя бы и верном. Вот как описывает этот спор А. С. Пушкин:

Движенья нет, сказал мудрец брадатый, Другой смолчал и стал пред ним ходить. Сильнее бы не мог он возразить;

Хвалили все ответ замысловатый. Но, господа, забавный случай сей другой пример на память мне приводит:

Ведь каждый день пред нами солнце ходит, однако ж прав упрямый Галилей.

Наиболее частая ошибка — это попытка обосновать тезис с помощью ложных аргументов.

Довольно распространенной ошибкой является круг в доказательстве:

справедливость доказываемого положения обосновывается посредством этого же положения, высказанного, возможно, в несколько иной форме. Если за основание доказательства принимается то, что еще нужно доказать, обосновываемая мысль выводится из самой себя, и получается не доказательство, а пустое хождение по кругу.

Почему мы видим через стекло? Обычный ответ: оно прозрачно. Но назвать вещество прозрачным — значит сказать, что сквозь него можно видеть.

В статье "Так что же нам делать?" Л. Н. Толстой резко обвиняет политэкономию в явном порочном круге. "Вопрос экономической науки, — пишет Толстой, — в следующем: какая причина того, что одни люди, имеющие землю и капитал, могут порабощать тех людей, у которых нет земли и капитала?

Ответ, представляющийся здравому смыслу, тот, что это происходит от денег, имеющих свойство порабощать людей. Но наука отрицает это и говорит: это происходит не от свойства денег, а оттого, что одни имеют землю и капитал, а другие не имеют их. Мы спрашиваем: отчего люди, имеющие землю и капитал, порабощают неимущих? Нам отвечают: оттого, что они имеют землю и капитал. Да ведь мы просто это же самое и спрашиваем. Лишение земли и орудий труда и есть порабощение. Ведь это ответ: усыпляет, потому что обладает снотворной силой".

Еще в XVII в. философ и логик Г. Лейбниц высказал идею представить логическое доказательство как "игру со знаками". Эта "игра" должна осуществляться по простым правилам, напоминающим правила вычисления в математике и принимающим во внимание только внешний вид знаков.

Идея Лейбница — это идея формализации доказательства, сведения его к преобразованию одних последовательностей знаков в другие их последовательности.

Сущность метода формализации состоит в построении модели, в которой содержательным рассуждениям соответствуют чисто формальные образования. Ими оперируют на основании системы правил, а не смыслового содержания предложений.

Формализация может осуществляться с разной степенью полноты. Полная формализация теории имеет место тогда, когда совершенно отвлекаются от содержательного смысла исходных понятий и положений теории и перечисляют все правила логического вывода, используемые в доказательствах. Такая формализация включает в себя три момента: обозначение исходных, неопределяемых терминов; перечисление принимаемых без доказательства формул (аксиом); введение правил преобразования этих формул для получения из них новых формул (теорем). В формализованной теории доказательство не требует обращения к каким-либо интуитивным представлениям. Оно является последовательностью формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из аксиом по правилам вывода. Проверка такого доказательства превращается в механическую процедуру и может быть передана вычислительной машине. Допустим для примера, что аксиомами являются формулы: (А ® В) ® (~В ® ~А), (а—). В) и ~В, а единственным правилом — правило, позволяющее вписывать в доказательство формулу В, если в нем ранее встречались формулы Л ® Б и А. Для осуществления вывода нет необходимости знать, что означают знаки ® и ~ и какие утверждения представляются буквами Л и 8. Вывод — это оперирование самими знаками как материальными объектами, а не стоящими за ними смыслами. Построим такую последовательность формул:

1. (А ® В) ® (~В ® ~ А)

2. (А ® В)

3. (~ В ® ~ А)

4. ~ В

5. ~ А

Формализованное доказательство — это доказательство, записанное на специальном искусственном — формализованном — языке. Он имеет точно установленную структуру и простит-правила, благодаря чему процесс доказательства сводится к элементарным операциям со знаками.

Формализованное доказательство — это идеальное и неоспоримое доказательство. Но насколько реалистичен этот идеал, не слишком ли формализованные рассуждения отходят от обычных научных рассуждении? Можно ли полностью формализовать любую научную теорию?

Ответы на эти вопросы были получены в 30-е гг., когда был установлен ряд теорем, принципиально ограничивающих формализацию. Наиболее важная из них принадлежит математику и логику К. Гёделю. В 1931 г. он показал, что любая достаточно богатая по содержанию формализованная теория неизбежно неполна: она не охватывает все истинные утверждения, относящиеся к ее области (теорема Гёделя).

Теорема Гёделя о неполноте произвела эффект разорвавшейся бомбы не только в математике и логике. Она распространяется на любую формализованную теорию, содержащую арифметику, и говорит о внутренней ограниченности процедуры формализации, о невозможности представления сколько-нибудь богатой теории в виде завершенной формализованной системы.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение доказательства и опровержения.

2. Что такое прямое и косвенное доказательство?

3. Каковы основные приемы опровержения?

4. Перечислите основные правила и ошибки в доказательстве и опровержении.

5. Характеризуйте метод формализации доказательства.

6. В чем значение знаменитой теоремы К.Геделя о неполноте.

7. Что доказывает ограниченность процедуры формализации в науке?