Линеаризация

Если процесс проходит с малыми изменениями управляющих и возмущающих воздействий в окрестности некоторых установившихся (номинальных) значений, то для такого объекта и отклонение выходной координаты будет мало, тогда можно воспользоваться следующими приемами линеаризации.

1. Все изменяемые величины представим как сумму номинального постоянного значения и малого приращения: x(τ)=x_н+Δx(τ).

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение и отбросим произведение приращений Δ или Δ².

Обозначим: t_вых=t_{вых н}+Δt_вых

G=G_н+ΔG

t_вх=t_{вх н}+Δt_вх

(4)

Если процесс установившийся, т.е. все приращения равны нулю, то из последнего уравнения получаем уравнение статики:

(5)

В силу этого уравнения статики (5) уравнение в приращениях (4) примет следующий вид:

_. (6)

Уравнение (6) – линеаризованное уравнение динамики (уравнение с нулевыми начальными условиями) и все коэффициенты перед приращениями или их производными - постоянные величины.

2. Разложение в ряд Тейлора уравнения по независимым входным воздействиями или зависимым координатам в окрестности номинальных или установившихся значений.

Для этого дифференциальное уравнение записывают в форме

F(t`_вых, t_вых,G, t_вх,U)=0

F[(t_вых.н+Δ t_вых)`, t_вых.н+Δ t_вых, G_н+ΔG, t_{вх н}+Δt_вх,U_н+ΔU]=

=F(t`_вых.н, t_вых.н,G_н, t_вх.н,U_н)+ + +

+ + +

Первое слагаемое приравненное к нулю, при нулевом t`_{вых н}, является уравнением статики, оставшаяся часть дает линеаризованное уравнение динамики в приращениях. Оно такое же как и полученное раньше.

Все слагаемые с производными старше 1 опущены.

|_н- производная записана для номинальных значений всех параметров.

Лекция 4