Оптимизация цифровых регуляторов и компенсаторов многосвязной системы при невыполнении условия автономности

Ограничения на физическую реализуемость автономных компенсаторов перекрестных связей [12] приводят к невозможности использования критерия автономности при синтезе связанной системы управления. Кроме того, автономизация в ряде случаев [35] с последующей оптимизацией регуляторов не всегда обеспечивает оптимум всей системы. Поэтому второй подход при синтезе связанной системы формулируется в виде требования экстремизировать функционал, зависящий от всех управляемых величин с учетом того, что на каждую из них оказывают влияние все управляющие воздействия. В этом случае синтез основан на использовании численных методов оптимизации настроек не только регуляторов, но и компенсаторов перекрестных связей.

В любых системах несвязанного или связанного управления, кроме автономных, теоретически не достигается полная компенсация внутренних динамических связей. Вследствие этого на каждую из управляемых величин оказывается влияние со стороны всех управляющих и компенсирующих алгоритмов. Таким образом, настройка регуляторов и компенсаторов многомерных ЦСУ данного класса в соответствии с приведенным критерием (4.37) оказывается задачей векторной оптимизации, решение которой вызывает значительные трудности и требует больших временных затрат.

Рассмотрим алгоритм оптимизации регуляторов связанной неавтономной ЦСУ для случая, когда настройки компенсаторов определены заранее [3]. Это дает возможность с одной стороны избежать излишнего усложнения в описании, а с другой стороны позволяет довольно просто перейти к алгоритмам одновременной оптимизации регуляторов и компенсаторов неавтономной ЦСУ и оптимизации регуляторов несвязанной ЦСУ многомерным объектом.

Существует несколько подходов для решения задач векторной оптимизации [9]. Воспользуемся методом свертки:

= ∙ , (4.75)

где – суммарный критерий;

=[ ,…, ] ^Т – вектор весовых коэффициентов каждой управляемой величины:

=1. (4.76)

Критерий , представленный в виде суммы квадратичных функций вектора S, ограниченных снизу, по этой причине также будет являться квадратичной функцией ограниченной снизу. В этом случае необходимым и достаточным условием экстремума является следующее равенство:

= · = 0, (4.77)

где = – блочный вектор;

=[ ,…, , ,…, ] – вектор частных производных критерия S ^вкт по всем оптимизируемым настройкам j -го регулятора; j = ;

= ,

= – блочные матрицы;

= – матрица-строка; , .

Значение вектора определяется из выражения:

=2· , (4.78)

где = , = – блочные векторы;

= – вектор частных производных всех критериев по h -ой настройке j -го регулятора, r; j = , h = ;

= , = ,

= – блочные векторы и блочная матрица;

= – матрица-строка значений частной производной k -ой ошибки управления по h -ой настройке j -го регулятора, N^в; j, k = ,

h = .

Отыскание оптимальных значений настроек основных регуляторов осуществляется в несколько этапов. На первом этапе задаются начальные значения параметров алгоритмов управления, при которых выполняется расчет переходных процессов замкнутой многомерной ЦСУ и частных производных (4.77).

Расчет переходных процессов замкнутой связанной ЦСУ в ходе решения задачи оптимизации ведется с учетом как основных, так и перекрестных связей объекта с помощью разностных уравнений:

= - ,

= ,

= , (4.79)

= ,

= ,

где =[ ,…, ] ^Т – вектор управляющих воздействий на объект управления.

Расчет численных значений частных производных выходов регуляторов, компенсаторов, основных и перекрестных каналов управлений, управляющих воздействий и управляемых величин осуществляется по уравнениям:

=- ,

= + ,

= , (4.80)

= ,

= ,

где = , = – блочные векторы;

= – вектор частных производных всех ошибок управления по h -ой настройке j -го регулятора, r; , ;

= , = ,

= – блочные векторы;

= – вектор частных производных выходов k -го регулятора или компенсаторов, подключенных к его выходу, по h -ой настройке j -го регулятора, r; j, k = , h = ;

= , = ,

= ,

= – блочные векторы и блочные матрицы;

= – матрица-строка частных производных переменных состояния k -го регулятора (k = x) или компенсатора (k ≠ x), подключенного к его выходу, по h -ой настройке j -го регулятора, ; j, k, x , ;

= , = – блочные векторы;

= – блочный вектор, элементы которого являются нулевыми векторами (количество нулевых векторов равно (r -1), каждый размерности r), кроме j -го (k = j) вектора вида:

= – вектор, элементы которого равны нулю кроме j -го, являющегося h -ой переменной состояния j -го регулятора, для расчета значений частных производных выходов k -го регулятора и компенсаторов, подключенных к его выходу, по h -ой настройке j -го регулятора, r; j, k , ;

= , = – блочные векторы;

= – вектор частных производных выходов всех управляющих воздействий по h -ой настройке j -го регулятора, r; , ;

= ,

= – блочные матрицы;

= – матрица суммирования; , ;

= , = , = – блочные векторы;

= – вектор частных производных выходов основного и перекрестных каналов, связывающих k -ое управляющее воздействие со всеми управляемыми величинами, по h -ой настройке j -го регулятора, r; j, k , ;

= , = ,

= ,

= – блочные векторы и блочные матрицы;

= = – матрица-строка частных производных переменных состояния основного (k = x) или перекрестного (k ≠ x) каналов, связывающего k -ое управляющее воздействие и x -ую управляющую величину, по h -ой настройке j -го регулятора, ; j, k, x , ;

= , = – блочные векторы;

= – вектор частных производных выходов всех управляемых величин по h -ой настройке j -го регулятора, r; , .

После проведения первого этапа оптимизации, на котором в результате решения систем уравнений (4.79) – (4.80) вычисляются в начале векторы и , а затем значения векторов (4.78) и (4.77), выполняется второй этап, на котором производится шаг по каждой настройке в направлении убывания критерия:

=( – ) ^g, (4.81)

где g – номер итерации приближения к оптимуму;

– норма градиента.

Для вычисления коэффициента шага используются следующие выражения, записанные в матричной форме:

diag[() ^g ]=() ^{g- 1}∙() ^g. (4.82)

Значение j -го элемента вектора определяется выражением:

(4.83)

Норма градиента вычисляется с помощью зависимости:

= . (4.84)

Момент окончания поиска оптимума определяется выполнением некоторых предварительно заданных условий:

< , (4.85)

или

< , (4.86)

где – заданная точность расчета точки экстремума при использовании условия (4.85);

= – блочный вектор; =[ ,…, ] ^Т – вектор заданной точности расчета оптимальных значений настроек j -го регулятора при использовании условия (4.86), ; j = .

Для выполнения расчета выражений (4.79) – (4.80) необходимо предварительно задаться начальными условиями:

= , (4.87)

, , (4.88)

, , (4.89)

, , (4.90)

, , (4.91)

, (4.92)

,

(4.93)

, (4.94)

, (4.95)

, (4.96)

, , (4.97)

где i_{н 3}= – значение номера такта, при котором может быть начат расчет переходного процесса по зависимостям (4.79) – (4.80); .

Анализ изложенного позволяет сделать выводы относительно достоинств и недостатков алгоритма. К достоинствам относятся:

1. Проведение оптимизации связанной ЦСУ, не удовлетворяющей принципу автономности (например, в случае его физической не реализуемости), при условии, что настройки компенсаторов определены заранее [3];

2. Позволяет осуществить оптимизацию управляющей части несвязанных и автономных многомерных ЦСУ, являющихся частным случаем систем с заведомо определенными настройками компенсаторов. В первом случае они равны нулю, а во втором рассчитаны из условия автономности.

3. Увеличение размерности позволяет осуществить одновременную оптимальную настройку регуляторов и компенсаторов многомерной ЦСУ.

Как следует из приведенных достоинств, главным преимуществом предложенного алгоритма является универсальность, что приводит к расширению области применения прикладного программного обеспечения (ППО), разработанного на его основе (как при выполнении, так и при невыполнении условия автономности).

Недостатками алгоритма являются:

1. Необходимость расчета очень большого числа уравнений на каждой итерации приближения к экстремуму, возрастающего в геометрической прогрессии с увеличением размерности ОУ и/или числа настроечных параметров регуляторов и компенсаторов, поскольку настройка параметров управляющей части связанной системы является задачей векторной оптимизации;

2. Использование итерационных численных методов для оптимизации параметров не только регуляторов, но и компенсаторов связанной ЦСУ, что приводит к необходимости выполнения большого объема вычислений;

3. Необходимость перенастройки всех основных регуляторов и компенсаторов в случае нестационарности параметров любого, хотя бы одного канала ОУ;

4. Взаимосвязь и взаимовлияние рассчитываемых переменных. В силу этого исключается возможность независимой друг от друга, а, следовательно, и одновременной оптимизации управляющих алгоритмов ЦСУ на распределенных средствах ЦВТ. Вычисления должны выполняться последовательно друг за другом на одном из устройств ЦВТ.

Перечисленные недостатки приводят, во-первых, к увеличению времени, затрачиваемого на оптимизацию алгоритмов управления многомерной связанной ЦСУ. Во-вторых, к необходимости использования мощных и, следовательно, дорогостоящих средств ЦВТ с большим объемом оперативной памяти даже при наличии объекта небольшой размерности (r =3). И, в-третьих, к значительным трудностям по созданию и текущему обслуживанию в ходе эксплуатации соответствующего программного обеспечения.

Анализ перечисленных достоинств и недостатков рассмотренных алгоритмов оптимизации управляющих частей связанных ЦСУ позволяют сделать ряд выводов и на их основе указать области их наиболее целесообразного применения.

Первый алгоритм рекомендуется использовать при синтезе АвЦСУ объектами малой размерности (r =2). Анализ показывает, что в этом случае использование второго алгоритма не дает значительных преимуществ в отношении числа рассчитываемых уравнений и объема используемой памяти по сравнению с первым. Поэтому использование дешевого промышленного микроконтроллера (ПМК), осуществляющего оптимизацию управляющей части в соответствии с первым алгоритмом, дает незначительный проигрыш в плане технических характеристик (например, по быстродействию) и приводит к существенному выигрышу с экономической точки зрения по сравнению с использованием дорогостоящей ЭВМ, необходимой для реализации второго алгоритма (расчет передаточных функций эквивалентных объектов при первом подходе расчета компенсаторов). Однако в этом случае встает задача разработки алгоритмического описания и на его основе ППО автоматического расчета автономных компенсаторов и расчета передаточных функций эквивалентных ОУ для проведения оптимизации регуляторов средствами ПМК.

Как было показано, при наличии объекта высокого порядка (r >3) размерность задачи, ее сложность, количество рассчитываемых уравнений и объем необходимой памяти ЦВТ возрастают в геометрической прогрессии. Использование при этом первого алгоритма на базе ПМК дает значительное увеличение времени настройки АвЦСУ. Кроме того, в этом случае существенно затруднена настройка автономных компенсаторов. Таким образом, необходимость использования мощной ЭВМ очевидна. Однако применение первого алгоритма для объекта большой размерности даже при наличии мощной ЭВМ может не привести к получению желаемых характеристик АвЦСУ. Реализация в этом случае второго алгоритма позволяет во много раз снизить количество рассчитываемых уравнений, а значит и объем используемой памяти и время необходимое на проведение оптимизации регуляторов по сравнению с первым. Благодаря этому может быть обеспечена качественная настройка управляющей части АвЦСУ.

Третий алгоритм рекомендуется использовать при синтезе связанных систем, когда разработка АвЦСУ не может быть выполнена либо, исходя из ее физической не реализуемости [11], либо при наличии нестационарности, приводящей к не реализуемости АвЦСУ или затруднена возможность автоматической адаптации автономных компенсаторов.