Оптимизация цифровых регуляторов при выполнении условия автономности

После расчета компенсаторов из условия автономности в многомерной ЦСУ выполняется оптимизация основных регуляторов. Оптимизация может проводиться с использованием различных критериев (см. разд. 2.2). Наиболее часто для этих целей применяется квадратичная интегральная оценка, аналогом которой при построении дискретных систем управления является сумма квадратов ошибок управления:

= , (4.41)

где =[ ,…, ] ^Т – вектор критериев каждой управляемой величины;

= , = – блочная матрица и блочный вектор;

=[ ,…, ] – вектор дискретных значений ошибок для j -ой управляемой величины;

N^в = N +1 – объем выборки дискретных значений ошибок на период времени переходного процесса j -ой управляемой величины;

– индексы такта квантования.

Для решения задачи синтеза основных регуляторов управляющей части автономной системы, необходимо проанализировать уравнение (4.29), описывающее поведение многомерной ЦСУ, которое с учетом (4.30) принимает вид:

y =(I + R)^-1· R · y ^з, (4.42)

где R = W _о^u · W _к^u · W _р^u.

При выполнении условия автономности матрица R является диагональной, элементы которой исходя из (4.30) и (4.31) равны:

R = =

(4.43)

Поскольку:

(I + R)^-1= =

= , то (4.44)

(I + R)^-1· R = =

(4.45)

Отсюда уравнение (4.42), определяющее функциональную зависимость выходов объекта от входов системы, примет вид:

=

= .(4.46)

Анализ (4.46) показывает, что в автономной ЦСУ (АвЦСУ) каждая из управляемых величин является функцией только соответствующих задающего воздействия и регулятора , поскольку передаточные функции компенсаторов (см. раздел 4.2.1) и каналов объекта определены. Таким образом, настройка регуляторов в соответствии с приведенным критерием (4.41) оказывается задачей скалярной оптимизации, т.к. каждый элемент вектора S зависит от настроечных параметров только одного регулятора. Учитывая это обстоятельство, необходимое условие экстремума примет вид:

= = 0, (4.47)

где = – блочный вектор;

=[ ,…, , ,…, ] – вектор частных производных j -го критерия по всем настройкам j -го регулятора; j = ;

= – число настроечных параметров регуляторов (i = j) или компенсаторов (i ≠ j) перекрестных связей; .

= , = – блочная матрица и блочный вектор;

= – матрица-строка численных значений частной производной j -ой ошибки управления по h -ой настройке j -го регулятора, N^в; j = , h = .

Как ранее было сказано, возможны два варианта оптимизации настроек регуляторов. Рассмотрим первый вариант, при котором проводится одновременная параметрическая оптимизация всех регуляторов на основе моделей основных и перекрестных каналов.

Вариант 1

Процесс поиска оптимальных значений настроек основных регуляторов осуществляется в несколько этапов. На первом этапе выполняется расчет вектора , на втором – осуществляется шаг по каждому настроечному параметру в направлении убывания критерия (4.41). Для вычисления задаются начальные значения параметров цифровых регуляторов, при которых выполняется расчет и .

Вычисление вектора осуществляется путем расчета переходных процессов многосвязной системы (рис. 4.5) по разностным уравнениям в матричной форме:

= - , (4.48)

= ,

= ,

= ,

где , , , – см. в разделе 4.1.2;

=[ ,…, ] ^Т – вектор ошибки управления;

=[ ,…, ] ^Т – вектор заданий;

= – блочный вектор;

=[ ,…, ] ^Т – вектор выходов j -го регулятора и компенсаторов, подключенных к его выходу; j = ;

= ,

= – блочные матрицы;

= – матрица-строка переменных состояния j -го регулятора (j = h) или компенсатора (j ≠ h), подключенного к его выходу, ; j, h = ;

= , = – блочные векторы;

=[ ,…, , ,…, ] – вектор настроечных параметров j -го регулятора (j = h) или компенсатора (j ≠ h), подключенного к его выходу; j, h = ;

= , = – блочные матрицы;

=[ ] – матрица-строка переменных состояния основного или перекрестного канала, связывающего j -ое управляющее воздействие и h -ую управляемую величину; .

Расчет численных значений частных производных выходов регулируемых величин выполняется с помощью квазианалитических уравнений:

= – , (4.49)

= + ,

= ,

= ,

где = – блочный вектор;

=[ ,…, , ,…, ] – вектор частных производных ошибки j -го выхода по настройкам j -го регулятора; ;

= , = – блочные векторы;

= – вектор частных производных выходов j -го регулятора и компенсаторов, подключенных к его выходу, по h -ой настройке j -го регулятора, r; j = , h = ;

= , = ,

= – блочные матрицы и блочный вектор;

=

– матрица-строка частных производных переменных состояния выхода j -го регулятора (j = k) или компенсатора (j≠k), подключенного к его выходу, по h -ой настройке j -го регулятора, ; j, k , ;

= , = – блочные векторы;

= – вектор, все элементы которого равны нулю, кроме j -го, для расчета частных производных выходов j -го регулятора и компенсаторов, подключенных к его выходу, по h -ой настройке j -го регулятора, r; j , ;

= , = – блочные векторы;

= – вектор частных производных выходов основного и перекрестных каналов, связывающих j -ую управляемую величину со всеми управляющими величинами, по h -ой настройке j -го регулятора, r; j , ;

= , = ,

= – блочные векторы и блочная матрица;

=[ 0,…, ,…, 0 ] – блочная матрица-строка, элементами которой являются нулевые матрицы-строки (количество нулевых матриц-строк равно (r –1), каждая размерности ) и матрицы-строки вида:

= – матрица-строка частных производных переменных состояния выхода основного (k = x) или перекрестного (k ≠ x) каналов, связывающих k -ое управляющее воздействие и x -ую управляемую величину, по h -ой настройке j -го регулятора, ; j, k, x , ;

= – блочный вектор;

= – вектор частных производных j -ой управляемой величины по настройкам j -го регулятора; ;

= , = – блочные матрицы;

=[1,…,1] – единичная матрица-строка, r;

, .

После проведения первого этапа оптимизации, на котором в результате решения систем уравнений (4.48) – (4.49) вычисляются в начале векторы и , а затем значения вектора (4.47), выполняется второй этап, на котором производится шаг по каждой настройке в направлении убывания критерия:

=( – ) ^g, (4.50)

где g – номер итерации приближения к оптимуму;

= – блочный вектор;

= – вектор настроечных параметров j -го регулятора, ; ;

= – блочная диагональная матрица;

= – диагональная матрица нормы градиента j -го критерия, ´ ;

= – блочная диагональная матрица;

= – диагональная матрица коэффициентов шага, .

Для вычисления коэффициента шага воспользуемся алгоритмом, обеспечивающим высокую скорость достижения оптимума, который можно представить в матричной форме следующим образом:

diag[() ^g ]=() ^{g- 1}∙() ^g, (4.51)

где = – блочный вектор;

=[ ,…, ] ^Т – вектор переменных коэффициентов по j -му каналу.

Значение j -го элемента вектора определяется выражением:

(4.52)

Норма градиента вычисляется с помощью зависимости:

=() ^Т ∙ . (4.53)

где = ,

= – блочные матрицы; = – вектор частных производных j -го критерия по всем настройкам j -го регулятора; j = , h = .

Момент окончания поиска оптимума определяется выполнением предварительно заданных условий:

< , (4.54)

или

< , (4.55)

где =[ ,…, ] ^Т – вектор норм градиента всех критериев; =[ ,…, ] ^Т – вектор заданной точности расчета оптимальных значений настроек всех регуляторов при использовании условия (4.54);

= – блочный вектор; =[ ,…, ] ^Т – вектор заданной точности расчета оптимальных значений настроек j -го регулятора при использовании условия (4.55); j = .

Для выполнения расчета по уравнениям (4.48) – (4.49) необходимо предварительно задаться начальными условиями:

= , , (4.56)

, , (4.57)

, , (4.58)

, , (4.59)

, ,(4.60)

, (4.61)

, (4.62)

, (4.63)

, (4.64)

где i_{н 1}^{[ j ]}= – значение номера такта, с которого начинается расчет переходного процесса по зависимостям (4.48) – (4.49); .

Анализ приведенного варианта позволяет сделать выводы относительно его достоинств и недостатков. К достоинствам относятся:

1. Анализ элементов вектора (4.40), (4.46) показывает зависимость управляемых величин от передаточных функций разных каналов и алгоритмов управления, т.е. полную их независимость (автономность) друг от друга. Благодаря этому настройка регуляторов является задачей скалярной оптимизации, что значительно упрощает и облегчает ее выполнение, и дает возможность независимой друг от друга, а, следовательно, и одновременной оптимизации управляющих алгоритмов ЦСУ на распределенных средствах цифровой вычислительной техники (ЦВТ);

2. Использование итерационных численных методов для оптимизации параметров управления только основных регуляторов АвЦСУ, а настройка компенсаторов перекрестных связей осуществляется в результате однократного расчета;

3. Анализ выражения (4.35) показывает, что при использовании первого подхода передаточные функции компенсаторов i -ой группы не зависят от передаточных функций основного и перекрестных каналов, оказывающих влияние на одну и туже i -ую управляемую величину. Это позволяет сделать вывод о том, что в случае нестационарности основного и перекрестных каналов, влияющих на одну и туже i -ую управляемую величину, не требуется проведения перенастройки компенсаторов i -ой группы.

Из приведенных достоинств следует, что главными преимуществами разработанного алгоритма являются малая потребность в использовании мощных и дорогостоящих средств ЦВТ и времени, затрачиваемого на оптимизацию алгоритмов управления АвЦСУ, за счет снижения количества уравнений и, следовательно, объема вычислений. Кроме того, облегчается настройка и обслуживание АвЦСУ.

Недостатком является специализация алгоритма на настройке управляющей части только АвЦСУ. Это сужает область его применения, снижая при этом функциональные возможности многомерной ЦСУ, работа которой основана на использовании только одного алгоритма оптимизации. Это приводит к невозможности использования соответствующего программного обеспечения для любых систем связанного управления и необходимости использования мощных дорогостоящих ЭВМ при наличии объекта большой размеренности (r >3).

Вариант 2

Анализ выражения (4.46) показывает, что r -мерную ЦСУ (рис. 4.5) при выполнении условия автономности можно представить в виде совокупности r одномерных (одноконтурных) систем (рис. 4.7), каждая из которых включает соответствующий основной регулятор связанной системы (4.65) и эквивалентный объект с передаточной функцией (4.66):

= , (4.65)

= + , j = . (4.66)

Рис. 4.7. Эквивалентная структурная схема системы

автономного управления r -мерным объектом

Сепаратные системы включают эквивалентные объекты, передаточные функции которых получаются из условия автономного управления. Поэтому при использовании данного варианта расчет основных регуляторов управляющей части системы сводится к задаче скалярной оптимизации в одноконтурной системе на основе разностных уравнений соответствующих эквивалентных объектов. Условие оптимальности при этом остается неизменным. С учетом вышесказанного динамику такой системы можно описать следующими разностными уравнениями в векторно-матричной форме:

= - , (4.67)

= ,

= ,

где = – вектор эквивалентной ошибки управления; = – вектор эквивалентных заданий; =[ ,…, ] ^Т – вектор эквивалентных управляющих воздействий;

= – блочная матрица;

=[ ,…, , ,…, ] – матрица-строка переменных состояния j -го эквивалентного регулятора, ; ;

= – вектор настроечных параметров всех регуляторов;

= – вектор эквивалентных управляемых величин;

= – блочная матрица;

=[ ,…, , ,…, ] – матрица-строка переменных состояния j -го эквивалентного ОУ, ; ;

= – блочный вектор;

=[ ,…, , ,…, ] ^T – вектор параметров модели j -го эквивалентного ОУ, ;

= + +1 – число переменных состояния эквивалентного ОУ;

, – порядки числителя и знаменателя дискретной передаточной функции эквивалентного ОУ; – число тактов запаздывания эквивалентного ОУ; .

Расчет численных значений частных производных в векторно-матричной форме:

=- , (4.68)

= + ,

= ,

где = – вектор частных производных всех эквивалентных ошибок по всем настройкам эквивалентных регуляторов;

= – блочный вектор;

=[ ,…, , ,…, ] ^Т – вектор частных производных выхода j -го эквивалентного регулятора по его настройкам, ; ;

= ,

= – блочная матрица и блочный вектор;

=

= – матрица-строка частных производных переменных состояния j -го эквивалентного регулятора по его h -ой настройке, ; ;

= – блочный вектор;

=() ^T – вектор дополнительных слагаемых для расчета частных производных j -го эквивалентного регулятора; ;

= – вектор частных производных управляемых величин по всем настройкам эквивалентных регуляторов, ;

= ,

= – блочная матрица и блочный вектор;

=

= – блочная матрица матрица-строка частных производных переменных состояния выхода j -го эквивалентного канала по h -ой настройке j -го эквивалентного регулятора, ; .

Расчет оптимальных значений настроек основных регуляторов будет проводиться по тем же зависимостям (4.50) – (4.55), что и в первом алгоритме.

Для выполнения расчета выражений (4.67) – (4.68) необходимо предварительно задаться начальными условиями:

= , , (4.69)

, , (4.70)

, , (4.71)

, (4.72)

, (4.73)

, (4.74)

где i_{н 2}^{[ j ]}= – значение номера такта, с которого начинается расчет переходного процесса по зависимостям (4.67) – (4.68); .

Главными преимуществом алгоритма является возможность использования значительно менее мощных средств ЦВТ с относительно небольшими объемами оперативной памяти по сравнению с предыдущим алгоритмом, особенно при наличии объекта большой размерности (r >3). Во-вторых, уменьшение времени, затрачиваемого на оптимизацию алгоритмов управления АвЦСУ. Кроме того, значительно облегчается настройка и обслуживание АвЦСУ.

Недостатками алгоритма являются:

1. Необходимость использования верхнего уровня АСУ (рабочая станция, ЭВМ), возможности которой позволяют установить и использовать пакет прикладных программ для расчета передаточных функций эквивалентных объектов (при использовании первого подхода для расчет компенсаторов перекрестных связей) и компенсаторов перекрестных связей;

2. Возможность использования данного алгоритма для настройки управляющей части только АвЦСУ;