Проверка статистических гипотез

1. ГИПОТЕЗЫ. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА

Так как на основе статистического материала вычисляются лишь оценки истинных параметров распределения, то встаёт вопрос о значимости расхождений между статистическими вычислениями и действительностью.

· Статистической гипотезой (или просто гипотезой) называется любое предположение о генеральной совокупности, проверяемое по выборке.

· Нулевой гипотезой – называют гипотезу, выдвигаемую в качестве основной, которая отвергает значимость расхождений.

· Альтернативной (конкурирующей) гипотезой называется гипотеза, которая противоречит нулевой гипотезе .

· Процедура сопоставления высказанного предположения (гипотезы) с выборочными данными называется проверкой гипотез.

Так как решение о справедливости гипотезы принимается на основании выборочных данных, то могут возникать ошибки двух родов.

Ошибка I рода	Ошибка II рода
Отвергается основная (нулевая) гипотеза, хотя она верна.	Отвергается конкурирующая гипотеза, хотя она верна.
Вероятность ошибки: , – уровень значимости критерия (обычно ; 0,01; 0,005; 0,001).	Вероятность ошибки: (величина , как правило, заранее неизвестна)
Вероятность принять верную (нулевую) гипотезу: .	Вероятность принять верную (конкурирующую) гипотезу: , – мощность критерия.

Последствия ошибок 1-го и 2-го рода могут быть абсолютно различными: в одних случаях надо минимизировать , а в других – . Так, применительно к радиолокации говорят, что – вероятность пропустить сигнал, – вероятность ложной тревоги. Применительно к производству, к торговле можно сказать, что – риск поставщика (т. е. забраковка всей партии изделий, удовлетворяющих стандарту), – риск потребителя (т. е. приём по выборке всей партии изделий, не удовлетворяющих стандарту). Применительно к судебной системе, ошибка 1-го рода приводит к оправданию виновного, ошибка 2-го – осуждение невиновного.

Следует отметить, что одновременное уменьшение ошибок 1-го и 2-го рода возможно лишь при увеличении объёма выборок. Поэтому обычно при заданном уровне значимости отыскивается критерий с наибольшей мощностью.

· Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу , называется статистическим критерием (критерием) проверки гипотезы .

· Статистикой (тестом) называют СВ , которая служит для проверки гипотезы.

· Критической областью называют совокупность значений статистики , при которых нулевая гипотеза отвергается.

· Критическими точками называют точки, отделяющие критическую область от области принятия нулевой гипотезы.

СВ имеет симметричный закон распределения с математическим ожиданием, равным нулю. Положительные значения табулированы с учётом уровня значимости.

Различают три типа критической области:

Если , то нулевую гипотезу следует отвергнуть (принимается альтернативная гипотеза). При этом может быть совершена ошибка I–ого рода: .