Модель авторегрессии (АР)

В этой модели текущие значения случайного процесса выражаются как конечная линейная комбинация предыдущих его значений и белого шума:

, (6.76)

где – центрированный случайный процесс, ; a_t – белый шум с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением s_a.

Модель (6.76) содержит p + 2 параметров: ,

где m_x – математическое ожидание случайного процесса X (t);

– коэффициенты модели (константы).

Модель (6.76) называют моделью авторегрессии p -того порядка и обозначают АР(p).

При p = 1 получаем

. (6.77)

Эту модель называют моделью авторегресси первого порядка АР(1) или моделью марковского процесса. Для процесса АР(1) коэффициент f ₁и ординаты автокорреляционной функции связаны соотношением

. (6.78)

Учитывая, что r ₀ = 1, получаем:

. (6.79)

Таким образом, для АР(1) автокорреляционная функция полностью определяется своей первой ординатой. При этом f ₁ = r ₁.

При p = 2 получаем

. (6.80)

Эту модель называют моделью авторегресси второго порядка АР(2) или процессом Юла.

Для процесса Юла коэффициенты f ₁ и f ₂ связаны с ординатами автокорреляционной функции следующими соотношениями:

, (6.81)

. (6.82)

, (6.83)

. (6.84)

И вообще для любого значения k > 0 процесса АР(2):

. (6.85)

Таким образом, для АР(2) автокореляционная функция полностью определяется первыми двумя ординатами.

При моделировании гидрологических рядов по модели авторегрессии необходимо также знать среднеквадратическое отклонение шума. В общем случае СКО a определяется формулой

. (6.86)