Ряды Фурье

Рассмотрим периодическую функцию

При выполнении ряда условий (кусочность, гладкость, ограниченность) она раскладывается в тригонометрический ряд или ряд Фурье

(28)

(29)

где - коэффициенты ряда Фурье.

Действительно, если умножить (28) на и проинтегрировать, то:

Очевидно, что

тогда

2)

Тогда, остаётся

Откуда и следует определение (см.(29)). Аналогично . (Домашнее задание).

Если функции задана только на отрезке [0,T], то её всегда можно сделать периодической.

f(t)

0 T 2T 3T t

Такой сигнал нельзя спутать с сигналом,

где на краях всегда нули (это означает, что приёмник всегда включён). Такой сигнал уже никогда не сделать периодическим.

На практике, приёмник всегда имеет время включения и время выключения, поэтому всегда в качестве периода можно взять время работы приёмника.

Сигнал периодичен с T, но в тоже время в нём видна периодичность с T ₀. С такими сигналами мы встретимся дальше.

Чётная функция

Тогда и ряд раскладывается только по косинусам.

Нечётная функция

Тогда и ряд только по синусам.

Бывает «сдвинутая» чётность, когда

с этими случаями также встретится позже.

Любая функции может быть представлена в виде суммы чётной и нечётной функций.

Введём

Очевидно её чётность

Введём

Она нечётна

Но тогда

При этом, формулы для четной и нечетной функции будут иметь вид:

(30)