Оптимальная настройка параметров адаптации

Как уже неоднократно отмечалось, для проведения расчетов по адаптивным моделям необходимо задать начальные значения , , и определить оптимальные в некотором смысле параметры , , , а для моделей с многошаговым алгоритмом адаптивного механизма и параметр .

В принципе, для достаточно длинных временных рядов выбор начальных значений может быть произвольным. С течением времени влияние начальных значений на прогнозные расчеты в результате многократного сглаживания перестает ощущаться. Однако в экономике часто приходится иметь дело с короткими временными рядами и, поэтому, от выбора начальных значений зависит точность окончательных результатов. Кроме того, при задании начальных значений мы должны учитывать то обстоятельство, что в самонастраивающейся структуре адаптивного механизма предусмотрен вариант построения адаптивной модели с постоянными коэффициентами, которые по схеме построения такого варианта полагаются равными начальным значениям. Если же выбор начальных значений осуществлять произвольным образом, например, положить все компоненты вектора равными нулю, то, очевидно, что модель с нулевыми коэффициентами не может представлять по точности предсказания альтернативу модели с переменными коэффициентами. Следовательно, процедура, основанная на произвольном выборе начальных значений, исключает из схемы построения модели важный вариант ее возможной структуры, ухудшая в конечном итоге наследственные свойства адаптивного механизма. Поэтому, в силу приведенных здесь доводов, а также учитывая, что рассматриваемые адаптивные алгоритмы являются рекуррентными вариантами взвешенного МНК, будем для ускорения сходимости к оптимальным оценкам в качестве задавать матрицу, обратную матрице системы нормальных уравнений обычного МНК

. (5.68)

В качестве и выбираются векторы коэффициентов регрессионной модели, вычисленные с помощью МНК по данным одних и тех же временных рядов

, (5.69)

, (5.70)

где вектор-столбец оценок коэффициентов регрессионной модели;

вектор-столбец значений зависимой переменной в момент времени ;

матрица значений независимых переменных из строк

.

Начальные значения, задаваемые в виде (6.68)–(6.70), позволяют в структуре возможных вариантов адаптивной модели предусмотреть регрессионную модель с постоянными коэффициентами, определяемыми по МНК, как альтернативную модели с переменными коэффициентами. Это является убедительным аргументом в пользу такого способа определения начальных значений. Кроме того, известно, что именно этот способ обеспечивает быструю сходимость к оптимальным оценкам МНК.

Для определения оптимальных значений , , , проще всего применить общеизвестный метод перебора. Применение этого метода предполагает наличие критерия, с помощью которого можно из двух наборов , , , и , , , различных значений параметров адаптации выбрать наилучший в некотором смысле. В принципе, критерий настройки не обязательно должен быть идентичным по своей структуре функционалу экстремальной задачи. Учитывая это замечание, критерии можно строить таким образом, чтобы они ориентировали настройку параметров адаптации на повышение определенных характеристик точности прогнозных расчетов. Рассмотрим три возможных варианта:

, (5.71)

, (5.72)

, (5.73)

где , .

Первый критерий представляет собой сумму модулей ошибок прогнозирования и используется в тех случаях, когда за счет настраиваемых параметров необходимо получить минимально допустимую в рамках данной модели сумму прогнозных ошибок по всей обучающей последовательности наблюдений. Второй критерий – это сумма модулей максимальных ошибок прогнозирования. Причем, максимальная ошибка выбирается среди ошибок прогнозирования, рассчитанных для скользящего интервала длиной . Третий критерий аналогичен второму, но только в нем суммируются относительные максимальные ошибки прогнозирования. Применение двух последних критериев следует рекомендовать в тех случаях, когда и требуется, чтобы уровень ошибки предсказания построенной модели был по возможности равномерно минимальным для всего периода упреждения.

Для всех трех критериев в качестве обучающей последовательности используются первые наблюдений, а в качестве контрольной – группа из последних наблюдений. Возможны и другие способы формирования обучающей и контрольной последовательности, например, деление всего выборочного множества наблюдений на две равных части – обучающую и контрольную.

Настройка параметров адаптивного механизма заключается в определении оптимального набора значений путем решения экстремальной задачи

, (5.74)

в которой в качестве целевого функционала используется любой из выше- приведенных критериев. В (6.74) представляет собой прямое произведение множеств

, (5.75)

где ( – достаточно малая положительная величина),

,

.

Для решения этой задачи методом прямого перебора на множестве значений строится сетка

, (5.76)

, (5.77)

, (5.78)

, (5.79)

где – заданный шаг изменения соответствующего параметра;

, , – нижние границы параметров.

Для каждого узла сетки (5.76)–(5.79) по рекуррентным формулам настраиваемого адаптивного алгоритма при заданных начальных значениях , , вычисляется последовательность оценок , используемых в расчетах прогнозных серий , по значений в каждой. Определенные таким образом серии прогнозных расчетов используются далее для расчета величины выбранного критерия . Все полученные значения критерия (их число определяется количеством узлов сетки) сравниваются между собой, что позволяет среди узлов , ( – множество порядковых номеров, присвоенных узлам сетки) определить такой , для которого для всех . Так определенный вектор параметров считается оптимальным. Его точность определяется задаваемым при построении сетки шагом изменения настраиваемых параметров.