Теорема Ролля

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем на концах интервала принимает одинаковые значения . Тогда существует точка сÎ(a;b), значения производной в которой равно 0, т.е. .

Доказательство:

Т.к. функция непрерывна на отрезке [a;b], то по II-й т. Вейерштрасса о непрерывных функциях принимает на [a;b] наибольшее М и наименьшее m значения. y

Возможны два случая:

1) М=m.

2) М m.

Хотя бы одна из точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения, находится внутри [a;b].

В этом случае в указанной точке выполняются условия теоремы Ферма и, следовательно, существует точка c, принадлежащая (a;b), в которой производная .

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Ролля:

Þ К_кас=0 Þ касательная

в точке c параллельна оси ОX.

Теорема Лагранжа.

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует точка cÎ(a;b), значение производной в которой равно .

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию .

Эта функция непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций.

Итак, для F(x) выполняются все условия теоремы Ролля.

Þ существует точка сÎ(a;b) такая, что .

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа:

Существует точка cÎ(a;b), в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту хорды, соединяющей граничные точки:

Найдется такая точка на графике, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы отрезка [a;b].

Теорема Коши.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b), причем производная функции g(x) отлична от нуля, g¢(x)¹0. Тогда существует такая точка cÎ(a;b), для которой выполняется равенство: .