Достаточное условие экстремума

Пусть функция определена в критической точке x₀ и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, за исключением, может быть, самой x₀. Если «при переходе» через точку x₀ слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то x₀ – точка максимума; с минуса на плюс – точка минимума.

Доказательство:

Пусть производная меняет знак с «+» на «-».

Тогда слева от х₀, т.е. на (х₀-δ,х₀) .

Þ слева от х₀ функция возрастает.

Справа от х₀, т.е. на (х_0, х₀+δ) .

Þ справа от х₀ функция убывает.

Т.о. в окрестности точки х₀ выполняется

неравенство .

х₀ – точка локального максимума.

Аналогично доказывается для минимума.

Ч.т.д.

Пример: Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума.

а) .

1. Область определения функции D(y)=R.

2. .

Критические точки: . Þ , .

x	(-∞;1)	x=1	(1;3)	x=3	(3;+∞)
	+		–		+
	возрастает	max	убывает	min y(3)=1	возрастает

б) .

1. Область определения функции D(y): x¹-1.

2. ;

Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ нет точек;

– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .

x	(-∞;-1)	x=-1	(-1;+∞)
	+	не существует	+
	возрастает	не существует	возрастает

Точек экстремума нет.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть функция определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a;b] и имеет внутри этого промежутка конечную производную.

Тогда по второй теореме Вейерштрасса она на этом отрезке принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Очевидно, что эти значения могут достигаться либо в критических точках, либо на концах отрезка.

Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции применяют следующий алгоритм решения:

1. Находим критические точки функции. Отбираем те точки, которые принадлежат данному отрезку.

2. Вычисляем значения функции в найденных точках.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка.

4. Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее.

Исследование функции на максимум и минимум с помощью производной второго порядка.

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке (a;b).

Теорема.

Пусть существует и непрерывна в некоторой окрестности точки . Пусть . Если , то в точке функция имеет максимум; если , то в точке функция имеет минимум.

Доказательство:

Докажем для максимума.

Пусть . Пусть .

Так как, по условию, непрерывна в некоторой окрестности точки , то найдется некоторая окрестность , во всех точках которой вторая производная будет отрицательна.

Так как есть производная от первой производной, т.е. , то из условия следует, что убывает на промежутке, содержащем точку , т.е. в окрестности .

Так как , Тогда слева от , т.е. на (х₀-δ,х₀) имеем , а справа от , т.е. на (х_0, х₀+δ) имеем , т.е. производная «при переходе» через точку x₀ слева направо меняет знак с плюса на минус. А это значит, что точка – точка максимума.

Аналогично доказывается для минимума.

Ч.т.д.

Если в критической точке , то в этой точке может быть или максимум, или минимум или не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование проводится с помощью первой производной.

Пример: Исследовать на максимум и минимум функцию.

а) .

1. Область определения функции D(y)=R.

2. .

Критические точки: . , Þ , .

3. .

x	x=-1	x=3
	-12
	max y(-1)=12	min y(3)=-20

б) .

1. Область определения функции D(y)=R.

2. .

Критические точки: . Þ .

3. .

x	(-∞;0)	x=0	(0;+∞)

	+		–
	возрастает	max y(0)=1	возрастает

Выпуклые и вогнутые функции.

Пусть функция дифференцируема на интервале (a;b). Тогда на этом интервале в каждой точке графика функции существует касательная, причем не параллельная оси OY.

Определение: Функция называется выпуклой, если ее график лежит над любой касательной, проведенной к этому графику.

Определение: Функция называется вогнутой, если ее график лежит под любой касательной, проведенной к этому графику.

На разных участках промежутка функция может быть выпуклой или вогнутой.

Признак выпуклости.

Пусть функция имеет на интервале (a;b) непрерывную производную второго порядка. Если , то функция выпукла на промежутке (a;b). Если , то функция вогнута на промежутке (a;b).

Доказательство:

Пусть для определенности на (a;b) .

Возьмем точку x₀Î(a;b) и составим уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

(1)

Разложим функцию в окрестности точки x₀ по формуле Тейлора, причем возьмем два члена разложения и остаточный член:

, (2)

Вычтем (2) - (1):

на (a;b) .

График функции проходит над касательной.

Тогда по определению: функция выпукла.

Вогнутость доказывается аналогично.

Ч.т.д.

Замечание: Условие () является не только достаточным, но и необходимым для выпуклых (вогнутых) функций.

Определение: Точка, отделяющая промежуток выпуклости функции от промежутка ее вогнутости, называется точкой перегиба.

Необходимые условия существования точки перегиба функции.

Пусть функция в точке x₀ имеет точку перегиба. Если в этой точке существует производная второго порядка, то она обращается в ноль или не существует.

Точки перегиба следует искать среди точек, вторая производная которых равна нулю (y²=0) или не существует. Такие точки называются критическими точками второго рода.

Достаточное условие точки перегиба функции.

Пусть непрерывна в окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . Если «при переходе» через меняет знак, то точка — точка перегиба.

Доказательство:

Пусть «при переходе» через точку меняет знак с «+» на «-».

Тогда слева от точки — функция выпукла, а справа — вогнута. Тогда по определению: точка — точка перегиба.

Ч.т.д.

Пример: Исследовать функцию на перегиб. .

D(y)=R.

; .

Критические точки второго рода:

: ;

не существует: точек нет.

При переходе через точки вторая производная меняет знак.

Þ — точки перегиба.

Асимптоты графика функции.

Определение: Прямая l называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки М на графике до прямой l стремится к нулю при удалении точки М по графику функции от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Вертикальной асимптотой называется прямая x=a, если .

Находят вертикальную асимптоту по точкам разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

Наклонной асимптотой называется асимптота, уравнение которой имеет вид: .

Оказывается, что если является асимптотой, то и в уравнении определяются следующим образом , .

Доказательство:

По определению асимптоты: если ОМ , то |MN| 0.

Þ |MQ|→0 при x→±∞, т.к. .

По чертежу: .

Перейдем к пределу при x→±∞:

(*)

Þ .

Из (*) Þ .

Ч.т.д.

Замечание 1: Чтобы у кривой были наклонные асимптоты, нужно, чтобы соответствующие пределы в определении k и b были конечными, причем предел при x→+∞ и предел при x→-∞ нужно вычислять отдельно.

Замечание 2: Если k=0, то y=b. Наклонная асимптота в этом случае называется горизонтальной.

Замечание 3: Кривая никогда не пересекает вертикальную асимптоту, а горизонтальные и наклонные асимптоты кривая может пересекать и даже бесконечное число раз.

Пример: Найти асимптоты графика функции .

D(y): x¹3.

Þ x=3 – точка разрыва.

— вертикальная асимптота.

= ;

= = = =3 Þ .

Þ — наклонная асимптота.

Схема полного исследования функции.

1. Определить естественную область D(y) определения функции.

2. Исследовать на четность и нечетность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

4. Найти асимптоты.

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.

6. Найти интервалы выпуклости графика, точки перегиба.

7. Построить график функции.

Пример:

Провести полное исследование и построить график функции .

1. Область определения функции D(y): x¹1.

2. Т.к. область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с 0x: y=0 Þ Þ x=0 Þ точка (0, 0) – точка пересечения с осями.

4. x=1 – точка разрыва.

Вертикальная асимптота:

— вертикальная асимптота.

Наклонная асимптота: .

= ;

= = =1 Þ .

— наклонная асимптота.

5. = = .

Критические точки: , т.е. числитель равен нулю Þ , ;

– не существует, т.е. знаменатель равен нулю Þ .

x	(-∞;0)	x=0	(0;1)	x=1	(1;2)	x=2	(2;+∞)
	+		−	не существует	−		+
	возрастает	max y(0)=0	убывает	не существует	убывает	min y(2)=4	возрастает