Правило Лопиталя

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀, за исключением может быть самой точки x₀, и , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

Доказательство:

Доопределим f(x) и g(x) в точке x₀, положив

f(x₀) = g(x₀) = 0.

В окрестности точки x₀, т.е. на (x₀,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x₀, х) такая, что

, т.к. f(x₀) = g(x₀) = 0.

Перейдем к пределу при x x₀ с x₀:

.

Ч.т.д.

Замечание. На практике при раскрытии неопределенности типа можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥.

Для раскрытия неопределенностей типа существует аналог правила Лопиталя.

Теорема.

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x₀, за исключением самой точки x₀, причем . Пусть , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .

В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя.

Замечание 1. Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1^¥), (¥⁰), (0⁰), сводя их к неопределенностям типа , .

Замечание 2. Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида или , то его можно применить повторно.

Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.

1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида или , нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.

.

.

Вывод: показательная функция (y=aⁿ) всегда растет быстрее, чем степенная (у=xⁿ).

.

Вывод: логарифмическая функция (y=log_ax) растет медленнее, чем степенная.

2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида или , опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.

3. При показательной неопределенности: (0⁰), (1^¥), (¥⁰); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.

.

= = =(0×¥)= = = =

= =0;

Þ A=e⁰=1.

Формулы Тейлора и Маклорена.

Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x₀.Найдем многочлен степени не выше n-1, такой что

, ,,…, .

Такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции .

Будем искать этот многочлен в форме многочлена, разложенного по степеням , с неопределенными коэффициентами:

.

Неопределенные коэффициенты определим так, чтобы выполнялись перечисленные выше условия.

Найдем производные от :

;

;…

.

Подставляя вместо , находим:

, , , , …, . Отсюда

Þ , , , ,…, .

Искомый многочлен будет иметь вид:

, или

.

Этот многочлен мы будем называть многочленом Тейлора.

Теорема. Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x₀. Тогда в этой окрестности для функции справедлива следующая формула Тейлора:

+

+ .

Здесь некоторая точка, заключенная между и (), зависящая от , а = - остаточный член в форме Лагранжа.

Доказательство:

Обозначим через многочлен

.

Ясно, что для каждого выбранного существует такое число , для которого будет выполняться равенство:

. (1)

Покажем, что это число при уже выбранном будет равно при некотором из промежутка .

Определим функцию

.

Ясно, что

Следовательно, доказательство мы закончим, если покажем, что в некоторой точке () будет выполняться равенство: .

Непосредственными вычислениями проверяется (см. многочлен Тейлора!), что для всех выполняются равенства:

(2)

Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции на промежутке

[ ] выполняются все условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале () существует такая точка , производная функции , в которой равна нулю, то есть . Но тогда с учетом (2) теорему Ролля можно применить к функции на промежутке [ ] и так далее. Применяя, в конце концов, теорему Ролля к функции на соответствующем промежутке, получим точку , для которой будет справедливо равенство .

Утверждение доказано.

Если x₀=0, то формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:

+

Заметим, что числа n могут выбираться различными, в зависимости и от наличия у функции производных соответствующего порядка, и от необходимой точности расчетов. Например, формула Тейлора для n=4 будет иметь вид:

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

1. .

Þ ,

где .

2. .

Þ ,

где .

3. .

,…

Þ ,

где .

Пример:

Разложить функцию по формуле Маклорена, взяв 4 слагаемых.

Воспользуемся формулой Маклорена для функции , заменив x на

(-x):

.

.

Приложения формул Тейлора и Маклорена.

Формулы Тейлора и Маклорена имеют широчайшее применение, как для приближенного вычисления значений целого ряда табулированных функций таких, например, как , , и др., так и для замены сложных функций при решении практических задач многочленами.

В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].

Поскольку , то в остаточном члене величина удовлетворяет неравенству: . Следовательно,

.

Очевидно, что если мы заменим на промежутке [-1,1] функцию соответствующим многочленом Тейлора, то значения этого многочлена на указанном промежутке будут отличаться от соответствующих значений функции на величину меньшую, чем . Выбирая n из условия <0.001, мы получим, что , поскольку ().

Отметим, что формула Тейлора может использоваться и при вычислении пределов.

Признаки монотонности функции.

Пусть функция определена и непрерывна на промежутке (a;b).

Определение: Функция называется неубывающей (невозрастающей) на (a;b), если для любых x₁<x₂, принадлежащих (a;b), выполняется ().

Определение: Функция называется возрастающей (убывающей) на (a;b), если для любых x₁<x₂, принадлежащих (a;b), выполняется ().

Теорема 1.

Для того чтобы функция , дифференцируемая на (a;b), была возрастающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке была неотрицательна, т.е. , и достаточно, чтобы .

Доказательство:

Необходимость.

Пусть f(x) возрастает на (a;b). Тогда для любых выполняется .

Þ Þ .

По определению производной: .

Достаточность.

Пусть на (a;b). f(x) дифференцируема на (a;b). Выберем на этом промежутке 2 точки х₁; х₂.

Тогда на (х₁; х₂) выполняется условие теоремы Лагранжа:

существует точка с Î(х₁; х₂) такая, что .

Þ (т.к. ).

Þ . Þ возрастает на (a;b).

Ч.т.д.

Теорема 2.

Для того чтобы функция , дифференцируемая на (a;b), была убывающей, необходимо, чтобы производная на этом промежутке и достаточно, чтобы .

Доказательство проводится аналогично.

Пример: Найти интервалы возрастания и убывания функции .

.

.

Þ .

Экстремум функции.

Пусть функция определена в окрестности точки x₀.

Определение: Точка x₀ называется точкой строгого локального максимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство .

x₀ — max.

Определение: Точка x₀ называется точкой строгого локального минимума, если существует такая ее окрестность точки, в которой выполняется неравенство .

x₀ — min.

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Если функция , дифференцируемая в точке x₀, имеет в этой точке экстремум, то производная .

Доказательство:

Пусть для определенности точка x₀ — max.

Тогда по определению существует такая ее окрестность , в которой выполняется неравенство < .

Т.о. на интервале в точке x₀ функция принимает наибольшее значение .

Тогда по теореме Ферма: .

Аналогично доказывается для минимума функции.

Ч.т.д.

Однако, возможна ситуация, когда функция будет иметь экстремум в точке x₀ в том случае, когда производная не существует.

Точки, в которых производная либо равна 0, либо не существует, называются критическими точками производной.

Замечание 1: Обратное утверждение не верно. Не всякая функция, производная которой в точке равна нулю или не существует, имеет в этой точке экстремум.

Замечание 2. Функция имеет экстремум только в критических точках.