Пределы и непрерывность

Отметим некоторые теоремы о пределах, которые часто применяются для решения задач.

Если существуют конечные пределы и , то

1) ;

2) ;

3) (если ).

Отметим еще два замечательных предела и следствия из них:

1) ;

2) ;

3) ; 4) ; 5) .

Задача. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) . ж) .

Решение. а) Если , то для нахождения предела частного двух многочленов достаточно разделить и числитель, и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, на , где - степень многочлена, стоящего в знаменателе: .

б) Умножим числитель и знаменатель дроби на , избавившись тем самым от иррациональности в знаменателе. Итак,

.

в) Для решения этой задачи воспользуемся первым замечательным пределом:

(Так как при ).

г) Для решения данной задачи воспользуемся вторым замечательным пределом:

.

Последнее равенство вытекает из того, что в квадратной скобке стоит , где .

Решения задач е, ж аналогичны решению задачи а.

Например, задача ж имеет следующее решение:

.