Основные правила дифференцирования

1. 2. , в частности, 3. , где

Задача. Найти производные следующих функций:

а) ; б) .

Решение. а) Преобразуем выражение в скобках, переходя к дробным и отрицательным показателям. Получим

.

Используя правило дифференцирования произведения и суммы находим =

= .

б) Проведем предварительное преобразование функции:

= .

Используя правила дифференцирования произведения, суммы и частного, получим

=

= .

Дифференцирование сложной функции

Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и

,

где индекс внизу показывает, по какой переменной берется производная.

Задача. Найти производные следующих функций:

а) ; г) ;

б) ;

в) ;

Решение. а) Функцию представим как композицию функций и . Используя таблицу производных, находим: , .

Тогда

.

б) Функцию представим как композицию функций ,

и .Найдем производные по промежуточным аргументам: , и .

Производную сложной функции находим по формуле . Окончательно получим = .

Аналогично решается задача в:

=

= = .

г) Предварительно упростив выражение, определяющее функцию, до вида

,

находим производную:

.