Билет № 19. 1. Трапеция (определение)

1. Трапеция (определение). Вывод формулы площади трапеции. Теорема о четырех точках трапеции (доказательство).

2. Уравнение окружности (вывод). Взаимное расположение прямой и окружности в координатах.

3. Задача по теме «Решение треугольников»:

а) найдите острые углы треугольника АВС, если угол PC = 90°, АС = 2√3, BK = 1, где СК – высота треугольника;

б) в треугольник АВС вписана окружность. С₁, В₁ – точки ее касания со сторонами АВ и АС соответственно; АС₁ = 7, ВС₁ = 6, В₁С = 8. Найдите радиусы вписанной и описанной около треугольника АВС окружностей.

Билет № 20

1. Теорема Пифагора (прямая и обратная).

2. Правильный многоугольник (определение). Построение правильного четырехугольника, пятиугольника, шестиугольника.

3. Задача по теме «Координаты на плоскости»:

а) найдите площадь треугольника с вершинами А (1; 4), В (–3; –1), С (2;–2);

б) докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности, описанной около правильного треугольника, до трех его вершин постоянна и равна удвоенному квадрату стороны этого треугольника.

Билет № 21

1. Теорема синусов.

2. Построение прямой, параллельной данной.

3. Задача по теме «Подобие»:

а) найдите площадь квадрата, вписанного в ромб, со стороной 6 см и углом 30° (сторона квадрата параллельна диагонали ромба);

б) найдите длину отрезка, параллельного основаниям трапеции (их длины а и b) и делящего трапецию на два подобных четырехугольника.

Билет № 22

1. Теорема косинусов.

2. Деление отрезка пополам (два способа).

3. Задача по теме «Комбинации с окружностями»:

а) найдите площадь фигуры, ограниченной дугами трех попарно касающихся окружностей радиусов 1, 1 и √2 -1;

б) круги радиусов 1, 6 и 14 касаются друг друга. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в центрах данных кругов.