Обратная матрица

Рассмотрим проблему определения операции, обратной умножению матриц.

Пусть — квадратная матрица порядка . Матрица , удовлетворяющая вместе с заданной матрицей равенствам:

называется обратной. Матрицу называют обратимой, если для нее существует обратная, в противном случае — необратимой.

Из определения следует, что если обратная матрица существует, то она квадратная того же порядка, что и . Однако не для всякой квадратной матрицы существует обратная. Если определитель матрицы равен нулю , то для нее не существует обратной. В самом деле, применяя теорему об определителе произведения матриц для единичной матрицы получаем противоречие

так как определитель единичной матрицы равен 1. Оказывается, что отличие от нуля определителя квадратной матрицы является единственным условием существования обратной матрицы. Напомним, что квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной {особой), в противном случае — невырожденной {неособой).

Теорема 4.1 о существовании и единственности обратной матрицы. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, имеет обратную матрицу и притом только одну:

где — матрица, транспонированная для матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы .

Матрица называется присоединенной матрицей по отношению к матрице .

В самом деле, матрица существует при условии . Надо показать, что она обратная к , т.е. удовлетворяет двум условиям:

Докажем первое равенство. Согласно п.4 замечаний 2.3, из свойств определителя следует, что . Поэтому

что и требовалось показать. Аналогично доказывается второе равенство. Следовательно, при условии матрица имеет обратную

Единственность обратной матрицы докажем от противного. Пусть кроме матрицы существует еще одна обратная матрица такая, что . Умножая обе части этого равенства слева на матрицу , получаем . Отсюда , что противоречит предположению . Следовательно, обратная матрица единственная.