Замечания 4.2

1. При составлении общего уравнения плоскости нормаль выбирается неоднозначно: можно выбрать любую, отличную от нуля, длину нормали а также одно из двух возможных направлений (противоположный вектор также является нормалью). Например, вместо нормали можно взять нормаль что соответствует умножению обеих частей уравнения (4.15) на число –7.

2. Если в общем уравнении плоскости (4.15) коэффициент при неизвестной равен нулю, то плоскость параллельна координатной оси. Например, если то плоскость (4.15) параллельна оси абсцисс (рис.4.9,а); если то плоскость (4.15) параллельна координатным осям и т.е. параллельна координатной плоскости (рис.4.9,б).

Если в общем уравнении плоскости (4.15) свободный член равен нулю то плоскость проходит через начало координат (рис.4.9,в).

3. Нормаль к плоскости совпадает с градиентом функции

В курсе математического анализа доказывается, что градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в данной точке.

4. Плоскость разбивает пространство на два полупространства (рис.4.10): положительное, координаты всех точек которого удовлетворяют неравенству и отрицательное, для точек которого Нормаль приложенная к произвольной точке плоскости указывает на положительное полупространство (рис.4.10).

Это свойство следует из пункта 3.

5. Абсолютное значение пропорционально расстоянию от точки до плоскости т.е. отношение расстояний от точек и до плоскости равно отношению

Доказательство аналогично доказательству пункта 5 замечаний 3.2.

6. В аффинной системе координат линейное уравнение задает, согласно теореме 4.2, плоскость. Выводы, полученные в п.2,3,4,5, остаются справедливыми с тем лишь исключением, что вектор не является нормалью.

Пример 4.5. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы точки и Составить уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину (рис.4.11).

Решение. Находим координаты середины отрезка т.е. Вектор можно взять в качестве нормали к плоскости. Находим координаты этого вектора, вычитая из координат его конца соответствующие координаты его начала:

Следовательно, уравнение (4.15) искомой плоскости имеет вид

Осталось найти величину свободного члена . Поскольку точка принадлежит плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, следовательно, отсюда Таким образом, искомая плоскость задается уравнением