2015-04-12
1043
Пусть заданы:
а) плоскость, описываемая общим уравнением (4.15): 
;
б) точка 
в пространстве.
Требуется найти расстояние 
от точки до плоскости.
Искомое расстояние равняется длине ортогональной проекции вектора 
на направление нормали 
(рис.4.12) и находится по формуле:
,
где 
— любая точка на заданной плоскости.
Запишем правую часть в координатной форме, выражая скалярное произведение и длину через координаты векторов
Поскольку координаты точки удовлетворяют уравнению (4.15), то 
Подставляя это выражение, получаем формулу расстояния от точки до плоскости
Пример 4.6. В координатном пространстве 
(в прямоугольной системе координат) заданы точки 
и 
Требуется найти, в каком отношении плоскость 
делит отрезок 
(рис.4.13).
Решение. Найдем значения линейного четырехчлена 
в точках и 
и 
Получили значения разных знаков. Следовательно, точки 
и 
лежат по разные стороны от плоскости я (согласно пункту 4 замечаний 4.2, эти точки лежат в разных полупространствах), т.е. плоскость 
действительно пересекает отрезок (в точке 
на рис.4.13). Так как эти значения по абсолютной величине пропорциональны расстояниям от точек и до плоскости , то
Этот же результат можно получить по формуле (4.16). Находим расстояния 
и 
от точек и до плоскости 
Следовательно, 
