Пусть заданы:
а) плоскость, описываемая общим уравнением (4.15): ;
б) точка в пространстве.
Требуется найти расстояние от точки до плоскости.
Искомое расстояние равняется длине ортогональной проекции вектора на направление нормали (рис.4.12) и находится по формуле:
,
где — любая точка на заданной плоскости.
Запишем правую часть в координатной форме, выражая скалярное произведение и длину через координаты векторов
Поскольку координаты точки удовлетворяют уравнению (4.15), то Подставляя это выражение, получаем формулу расстояния от точки до плоскости
Пример 4.6. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы точки и Требуется найти, в каком отношении плоскость делит отрезок (рис.4.13).
Решение. Найдем значения линейного четырехчлена в точках и
и
Получили значения разных знаков. Следовательно, точки и лежат по разные стороны от плоскости я (согласно пункту 4 замечаний 4.2, эти точки лежат в разных полупространствах), т.е. плоскость действительно пересекает отрезок (в точке на рис.4.13). Так как эти значения по абсолютной величине пропорциональны расстояниям от точек и до плоскости , то
|
|
Этот же результат можно получить по формуле (4.16). Находим расстояния и от точек и до плоскости
Следовательно,