Определение 12.1. Поверхностью второго порядка называется множество точек трехмерного пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению вида:
- (12.1)
уравнению второй степени от трех неизвестных, называемому общим уравнением поверхности второго порядка.
Если найти собственные числа и нормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы и перейти к системе координат, определяемой базисом из ортонормированных собственных векторов, уравнение (12.1) можно привести к одному из следующих видов:
1. Если λ 1, λ 2, λ 3 – одного знака, уравнение (12.1) есть уравнение эллиптического типа и приводится к канонической форме:
а) - (12.2)
каноническое уравнение эллипсоида.
Замечание, Если два собственных числа совпадают, эллипсоид называется эллипсоидом вращения и представляет собой поверхность, полученную в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если все собственные числа равны, уравнение (12.2) становится уравнением сферы.
б) - (12.3)
уравнение задает точку в пространстве;
|
|
в) - (12.4)
пустое множество.
2. Если собственные числа разных знаков, уравнение (12.1) приводится к каноническому виду:
а) - каноническое уравнение однополостного гиперболоида, (12.5)
б) - (12.6)
- каноническое уравнение двуполостного гиперболоида,
в) - (12.7)
уравнение конуса второго порядка.
3. Одно из собственных чисел равно 0. При этом с помощью преобразований координат можно получить следующие формы уравнения (12.1):
а) - (12.8)
каноническое уравнение эллиптического параболоида,
б) - (12.9)
каноническое уравнение гиперболического параболоида
и уравнения цилиндрических поверхностей:
в) - эллиптический цилиндр, (12.10)
г) - гиперболический цилиндр. (12.11)
Наконец, уравнение может определять пару плоскостей:
д) . (12.12)
4. Если два собственных числа равны 0, уравнение (12.1) приводится к одному из следующих видов:
а) - параболический цилиндр, (12.13)
б) - пара параллельных плоскостей, (12.14)
в) - пустое множество.