Vn
Пусть e 1, e 2, …, en и e 1’, e 2’, …, en ’ – два базиса пространства Vn.
Для вектора определены координаты в базисе : = , и в базисе ’: = ’ ’, где
= , = (e 1 e 2 … en), ’= , ’= (e 1’ e 2’ … en ’)
Для векторов e 1’, e 2’, …, en ’ определим координаты в базисе e 1, e 2, …, en:
e 1’ = a 11 e 1 + a 21 e 2 +… an 1 en
e 2’ = a 21 e 1 + a 22 e 2 +… a 2 n en
…
en ’ = an 1 e 1 + an 2 e 2 +… ann en, то есть ’ = A, где A = .
Определение. Матрицу A будем называть матрицей перехода от базиса к базису ’.
Столбцы в матрице перехода от базиса к базису ’ – это координаты векторов e 1’, e 2’, …, en ’ в базисе .
Итак, = ’ ’= ( A) ’, то есть = (A ’) и = A ’.
Таким образом мы доказали следующую теорему:
Теорема. Пусть и ’ – базисы пространства Vn, A – матрица перехода от базиса к базису ’. Тогда для любого вектора из пространства Vn справедливо равенство = A ’, где – координаты этого вектора в базисе , ’- координаты вектора в базисе ’.