double arrow

Изменение координат вектора при смене базиса

Vn

Пусть e 1, e 2, …, en и e 1’, e 2’, …, en ’ – два базиса пространства Vn.

Для вектора определены координаты в базисе : = , и в базисе ’: = ’, где

= , = (e 1 e 2en), ’= , ’= (e 1e 2’ … en ’)

Для векторов e 1’, e 2’, …, en ’ определим координаты в базисе e 1, e 2, …, en:

e 1’ = a 11 e 1 + a 21 e 2 +… an 1 en

e 2’ = a 21 e 1 + a 22 e 2 +… a 2 n en

en ’ = an 1 e 1 + an 2 e 2 +… ann en, то есть ’ = A, где A = .

Определение. Матрицу A будем называть матрицей перехода от базиса к базису ’.

Столбцы в матрице перехода от базиса к базису ’ – это координаты векторов e 1’, e 2’, …, en ’ в базисе .

Итак, = ’= ( A) ’, то есть = (A ’) и = A ’.

Таким образом мы доказали следующую теорему:

Теорема. Пусть и ’ – базисы пространства Vn, A – матрица перехода от базиса к базису ’. Тогда для любого вектора из пространства Vn справедливо равенство = A ’, где – координаты этого вектора в базисе , ’- координаты вектора в базисе ’.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: