Изменение координат точки при переходе из одной аффинной системы координат в другую аффинную систему координат

Пусть в Eⁿ заданы две аффинные системы координат:

«старая» w = (O, ) и «новая» w’ = (O’, ’).

Координаты точки M ÎEⁿ

в системе координат w M ()_w, то есть = ;

в системе координат w’ M ( ’)_w’, то есть = ’ ’.

Координаты точки O’ в системе координат w O’()_w, то есть = .

Пусть A – матрица перехода от базиса к базису ’. Тогда = ’ ’= A ’.

Так как = + , то = + A ’ = ( + A ’) и,

соответственно, = A ’ +

Определение. Матрицу перехода от базиса к базису ’ будем называть матрицей перехода от системы координат w к системе координат w’.

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Пусть (O, ) и (O’, ’) – аффинные системы координат в Eⁿ, A – матрица перехода от системы координат w к системе координат w’. Тогда для любой точки из Eⁿ справедливо равенство = A ’ + , где – координаты этой точки в системе координат w, ’- координаты этой точки в системе координат w’, - координаты точки O’ в системе координат w.