Уравнение прямой в пространстве

Поскольку пересекающиеся плоскости пересекаются по прямой, то

(10)

причем (11)

Система уравнений (10) с условием (11) называется общим уравнением прямой в пространстве. Данная система линейных неоднородных уравнений совместна и имеет общее решение следующего вида:

(12)

,

где – частное решение (10), – фундаментальная система решений соответствующей системы линейных однородных уравнений.

Геометрически (12) означает следующее:

Пусть точка . Любая точка получается прибавлением к радиус-вектору точки некоторого вектора, коллинеарного - направляющего вектора прямой.

Уравнение (12) можно переписать в виде или

, (13)

– векторно-параметрическое уравнение прямой или

(14)

– параметрические уравнения прямой в пространстве.

Исключая параметр , получим:

(15)

– канонические уравнения прямой в пространстве.

Здесь равенства (15) следует воспринимать как пропорцию.

Пример 3. Пусть прямая задана каноническими уравнениями

(*). Тогда уравнения (*) равносильны системе:

, .

Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки и , то – направляющий вектор, тогда

(16)

– уравнение , проходящей через 2 точки.

Утверждение 6. Если прямая , задана как пересечение двух плоскостей системой (.10), то вектор

(17)

– является направляющим вектором , т.е. .