Взаимное пересечение многогранников

Рассмотрим пересечение призмы с пирамидой (рис. 135).

Рис.135

Призма занимает горизонтально-проецирующее положение.

Для построения линии пересечения этих поверхностей следует:

1. Определить точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы 1,2,3,4,5,6.

2. Поверхности гранные - линии пересечения прямые линии. Соединяем полученные точки.

3. Определяем видимость.

Пересечение поверхностей вращения

Пример 1. Пересечение сферы с цилиндром. Цилиндр занимает фронтально-проецирующее положение (рис.136).

1.Поскольку цилиндр занимает фронтально проецирующее положение, фронтальные проекция линии пересечения совпадает с фронтальным очерком цилиндра. Остается построить горизонтальную проекцию окружности, принадлежащую поверхности сферы. Отметим характерные точки - фронтальные проекции точек, лежащих на экваторе сферы- G",H",F",P". Отметим фронтальные проекции M",N",K",L", в которых будет меняться видимость линии пересечения. Горизонтальные проекции точек, принадлежащих поверхности сферы, находим при помощи окружностей соответствующего радиуса (рис.137).

Рис.136

Рис.137

2. Соединим полученные точки плавной линией с учетом видимости. Точки, принадлежащие видимой части поверхности цилиндра, относительно горизонтальной плоскости проекций соединяем сплошной линией. В точках М,N,K,L происходит изменение видимости. Определим видимость горизонтальных очерков цилиндра и сферы (рис.138).

Рис.138

Пример 2. Пересечение сферы с конусом (рис.139).

Обе поверхности общего вида. У этих поверхностей имеется общая плоскость симметрии, поэтому линия пересечения будет симметрична относительно этой плоскости. Обе поверхности второго порядка, следовательно, линия их пересечения пространственная кривая четвертого порядка.

Рис.139

Ход решения:

1.Отметим характерные точки линии пересечения. Точки А и В лежат на пересечении фронтальных очерков. Точки С и D найдем на пересечении экватора сферы a и окружности b поверхности конуса, лежащих в одной горизонтальной плоскости α. Аналогично могут быть найдены и другие точки линии пересечения. Так точки М и N строим как пересечение окружностей c и d, принадлежащих одной горизонтальной плоскости β (рис.139).

3. Полученные точки соединяем плавной кривой с учетом видимости. При установлении видимости следует помнить, что эта линия будет видима, если она принадлежит как поверхности сферы, так и конуса. Точки А и В отделяют видимую относительно фронтальной плоскости часть линии пересечения (она проходит через точки А, С, М, В) от невидимой. В данной задаче фронтальные проекции видимой и невидимой части линии пересечения совпадают.

Точки С и D отделяют видимую относительно горизонтальной плоскости часть линии пересечения от невидимой. Точка А видима относительно горизонтальной плоскости проекций, так как лежит выше экватора сферы. Следовательно линия, проходящая через точки А, С, D - видима, остальная часть линии невидима. Определим видимость очерков поверхности конуса и сферы (рис.141).

Рис.140 Рис.141