Пересечение прямой линии с плоскостью

Рассмотрим общий случай пересечения прямой с плоскостью, когда и плоскость, и прямая – общего положения.

На рис. 4.16 дана плоскость треугольник АВС и прямая l.

Определить точку пересечения К. Алгоритм решения задачи:

1. Прямую l заключаем во вспомогательную проецирующую плоскость, горизонтально проецирующую (å ^ p₁ l ₁ º å₁).

2. Строим линию пересечения данной плоскости и вспомогательной å Ç (АВС) ® (12).

3. Определяем искомую точку на пересечении линии пересечения и проекции прямой l: (1₂2₂) Ç l ₂ ® K ₂ ® K ₁.

4. Определяем видимость прямой l относительно точки пересечения.

Так как стороны треугольника АВС и прямая l являются скрещивающимися прямыми, видимость определяем по конкурирующим точкам.

Если в задаче на определение точки встречи прямой линии с плоскостью один из геометрических объектов – частного положения, то введение вспомогательной плоскости не требуется. Рассмотрим эти случаи.

Рис. 4.16. Пересечение прямой линии с плоскостью

Пример. Дана плоскость (СDЕ) – горизонтально проецирующая и прямая линия l общего положения (рис. 4.17, а) Определить точку их пересечения.

Решение. Так как треугольник CDE – горизонтально проецирующая плоскость и проецируется на p₁ в прямую линию, то пересечение прямой l с данной плоскостью определяем на пересечении горизонтальных проекций объектов в единственной точке К ₁. Далее определяем видимость прямой l относительно точки пересечения К.

Аналогично решаем задачу (рис. 4.17, б), в которой плоскость Т задана следами и является фронтально проецирующей.

Задача. Дана плоскость (AВC) – общего положения и фронтально проецирующая прямая l. Определить точку их пересечения (рис. 4.18, а).

Решение. Так как прямая l является фронтально проецирующей и проецируется на плоскость p₂ в точку, то фронтальная проекция точки пересечения К ₂ совпадает с l ₂. Горизонтальную проекцию точки пересечения К ₁ определяем из условия принадлежности точки К и прямой l плоскости АВС. Проводим вспомогательную прямую (12), принадлежащую плоскости, через К ₂. Рассматриваем видимость прямой l относительно точки пересечения К. Аналогично решаем задачу, представленную на рис. 4.18, б, где плоскость Г задана следами, а прямая l перпендикулярна плоскости p₁.

Рис. 4.18