Введение. © ГОУ ВПО «дальневосточный государственный университет путей сообщения» (двгупс), 2006

УДК 514.12(075.8)

ББК В151.54я73

ВВЕДЕНИЕ

В методической разработке рассмотрены уравнения прямой на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат. Приведены задачи с подробным решением и задания для самостоятельной работы.

Пособие может быть использовано как на практических занятиях по математике и аналитической геометрии, так и в самостоятельной работе студентов при подготовке к экзамену.

1. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
НА ПЛОСКОСТИ

Возьмем на плоскости произвольную прямую и отметим на этой прямой некоторую точку О, называемую началом отсчета. Теперь будем двигаться по прямой в одном из направлений от точки отсчета, считая это направление положительным (это положительное направление отмечают стрелкой). Тогда движение в противоположном направлении от точки О будет называться отрицательным. Прямая, на которой указано положительное направление, называется осью. Если теперь на оси выбрать единицу измерения, то мы получим числовую ось (каждому действительному числу будет соответствовать единственная точка числовой оси). Если числовая ось изображена горизонтальной линией, то положительным направлением обычно считают движение слева направо (рис. 1).

Теперь каждая точка на оси определяется числом, называемым координатой этой точки. На рис. 1 точка М имеет координату 3 (запись М(3)).

Для определения положения точки на плоскости одной оси недостаточно. Требуются две пересекающиеся оси с общим началом отсчета и одинаковой единицей измерения. Удобнее всего положение точки определять относительно двух взаимно перпендикулярных осей, называемых координатными осями. Одна из осей называется осьюабсцисс и обозначается ОХ, а другая – осью ординат и обозначается ОУ. Такая система координат ХОУ называется декартовыми прямоугольными координатами на плоскости. Обычно ось ОХ изображают горизонтально, а ось ОУ – вертикально (рис. 2).

Точка О называется началом координат. Координатные оси делят всю плоскость на четыре угла, которые называются либо координатными углами, либо квадрантами, либо четвертями. Квадранты нумеруются в направлении против часовой стрелки, как указано на рис. 2.

Первому квадранту соответствуют значения ;

второму квадранту – значения ;

третьему квадранту – значения ;

четвертому квадранту – значения .

Положение произвольной точки М на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат определяют следующим образом. Из точки М опускают перпендикуляр на ось ОХ и фиксируют точку на оси, соответствующую основанию перпендикуляра – это координата . Теперь опустим перпендикуляр на ось ОУ и получим координату . Эти два значения полностью определяют положение точки М на плоскости. Таким образом, точка М определена своими проекциями на координатныеоси. Указывая координаты точки, принято первой указывать координату , а второй – координату : . Пара, в которой определен порядок, называется упорядоченной. Пары (2–3) и (3–2) определяют разные точки плоскости. На рис. 2 это точки М и N соответственно. Если точка лежит на оси абсцисс ОХ, то ее координата (ордината) равна нулю. Если же точка лежит на оси ординат ОУ, то ее координата (абсцисса) равна нулю. На рис. 2 точки А и В имеют координаты А(0;4), В(-3;0). Начало координат точка О имеет нулевые координаты: О(0;0).

Таким образом, каждой точке плоскости соответствует пара чисел – ее координаты. А каждой паре чисел соответствует единственная точка плоскости.

Метод координат позволяет решать геометрические задачи алгебраическими методами. Геометрия, использующая при решении задач такие методы, называется аналитической.

2. ОТРЕЗОК. ДЛИНА ОТРЕЗКА.
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ

Отрезок прямой определяется двумя точками – его концами А и В, и обозначается [АВ] или [ВА], или АВ. Если А и В – различные точки, то отрезок [AB] единственным образом определяет прямую (АВ). В этом случае, говоря об отрезке, как о множестве точек, считают, что это множество состоит из точек А и В, а также точек, которые лежат на прямой (АВ) между точками А и В. Если выбрана единица измерения, то каждому отрезку [AB] можно сопоставить неотрицательное число , которое называется его длиной или расстоянием между точками А и В. Длину отрезка также обозначают буквами или . Если точки А и В заданы своими координатами, то длину отрезка можно вычислить по теореме Пифагора.

Пусть даны точки и (рис. 3). Длина проекции отрезка [AB] на ось ОХ составляет , а длина проекции на ось ОУ составляет . Таким образом, в прямоугольном треугольнике АВС известны длины двух катетов: , . Тогда длина гипотенузы определяется формулой или

. (2.1)

Если точка А совпадает с началом координат О, то длина отрезка [OB]

. (2.2)

Пример 1. Даны точки А(2;6) и В(-1;2). Найти расстояние между ними.

Решение. По условию , поэтому согласно формуле (2.1) .

Пусть теперь на отрезке [AB] зафиксирована точка М (рис.3) таким образом, что . Попробуем найти координаты этой точки . Поскольку проекции отрезка делятся точками и в том же отношении, в котором точка М делит отрезок [AB], то можно записать , .

Из полученных соотношений найдем и :

, (2.3)

. (2.4)

В частности, если точка М ─ середина отрезка, то , и

, . (2.5)

Пример 2. Даны вершины треугольника А(-22;12), В(34;45), С(-2;-3). Вычислить периметр треугольника АВС. Найти координаты точки пресечения медиан треугольника.

Решение. Периметром Р называется сумма длин всех сторон многоугольника, поэтому . Проведем нужные вычисления:

;

; .

Пусть − медиана треугольника АВС. Следовательно, точка − середина отрезка [BC] и ее координаты могут быть найдены по формулам (2.5): , . Подставим численные значения . ; координаты точки .

Известно, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке М, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому для медианы можно записать соотношение: . Теперь, используя формулы (2.3) и (2.4) деления отрезка в данном отношении при , можно записать , . Подставив числовые значения, получим , . Координаты точки пересечения медиан .

Ответ: , .

Пример 3. Найти две точки А и В, если известно, что точка С(-5;4) делит отрезок [AB] в отношении 3:4, а точка D(6;-5) − в отношении 2:3.

Решение. Пусть точки А и В имеют координаты и . Тогда, согласно формулам (2.3) и (2.4), ; .

Подставим числовые значения и получим две линейные системы с двумя неизвестными

, .

Решая данные системы, получим , , , .

Ответ: А(160;-131), В(-225;184).

Замечание. Рассматривать задачу деления отрезка в данном отношении можно и в том случае, когда точка М располагается не между точками А и В, а лежит на прямой (АВ) вне отрезка [AB]. В этом случае число отрицательное.