Положение прямой вполне определено, если заданы какие-либо две ее точки или дана одна точка и указано направление прямой.
Пусть на прямой АВ зафиксированы две точки и
.
Выбранная на этой же прямой произвольная точка делит отрезок [AB] в некотором отношении. Тогда справедливо равенство
, (3.1)
которое называется уравнением прямой, проходящей через две данныеточки плоскости. Если обозначить ,
, то получим
или
− (3.2)
параметрическое уравнение прямой на плоскости.
Замечание. Формулы (3.1) и (3.2) следует понимать как пропорции, в которых значения и
могут быть равны нулю.
Пример 1. Даны вершины треугольника АВС: А(1;3). В(4;0), С(-4;3). Записать уравнения его сторон.
Решение. Используем формулу (3.1) и запишем:
(АВ): ,
,
,
.
(АС): ,
,
,
.
(ВС): ,
,
,
.
Ответ. (АВ): ; (АС):
; (ВС):
.
Как видно из предыдущего примера, преобразование выражения (3.1) приводит к уравнению
, (3.3)
которое называется общим уравнением прямой. Это алгебраическое уравнение первой степени относительно двух переменных, называемое также линейным уравнением.
Таким образом, уравнение всякой прямой можно записать в виде (3.3), где А и В одновременно не равны нулю. Верно и обратное, т.е. уравнение (3.3) всегда определяет прямую.
Зная уравнение прямой, можно её построить, произвольно задавая две какие-либо её точки.
Пример 2. Дано общее уравнение прямой . Построить эту прямую.
Решение. Возьмем два произвольных значения и вычислим соответствующие значения
. Пусть
, тогда
,
. Пусть
, тогда
,
. Таким образом, прямая проходит через точки (0;-2) и (-3;0) (рис. 4).
Рассмотрим частные случаи уравнения (3.3), в которых какие-либо из коэффициентов А, В, С равны нулю:
1) если прямая проходит через начало координат, то в уравнении (3.3) :
;
2) если прямая параллельна оси абсцисс ОХ, то :
или
;
3) если прямая параллельна оси ординат ОУ, то :
или
;
4) уравнение определяет ось ОХ (одновременно выполняются условия 1) и 2)). Уравнение
определяет ось ОУ.
Пример 3. Уравнение определяет прямую, проходящую через точку
параллельно оси абсцисс. Уравнение
определяет прямую, проходящую через точку (-2;0), параллельно оси ординат. Прямая
проходит через начало координат и представляет собой биссектрису первого и третьего координатных углов.
Если в общем уравнении прямой (3.3) коэффициент В не равен нулю, то уравнение (3.3) можно привести к виду
, (3.4)
которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Действительно, решая относительно уравнение (3.3), получим
. Обозначая
,
, приходим к уравнению (3.4).
Пример 4. Дано общее уравнение прямой . Записать его как уравнение с угловым коэффициентом.
Решение. Запишем уравнение в виде , откуда
,
,
.
Числа и
в уравнении (3.4) имеют вполне определенный геометрический смысл. Угловой коэффициент
− это тангенс угла, образованного прямой с положительным направлением оси ОХ (отсчет ведется от оси абсцисс в направлении против часовой стрелки):
. Число
показывает ординату пересечения прямой с осью ОУ (рис. 5).
Таким образом, два параметра и
полностью определяют положение прямой. Случай
соответствует прямой
, проходящей через начало координат. Случай
определяет прямую
, параллельную оси ОХ и проходящую через точку
.
Если теперь мы вернемся к уравнению прямой, проходящей через две заданные точки (3.1), то, записав его в виде , заметим, что отношение
есть не что иное, как тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс, т.е.
. Теперь уравнение (3.1) можно переписать в виде
. (3.5)
которое является уравнением прямой, проходящей через заданную точку . Задавая различные значения
, мы получим все прямые, проходящие через точку
. Поэтому уравнение (3.5) еще называют уравнением пучка прямых с центром в точке
.
Пример 5. Уравнение определяет любую прямую, проходящую через точку (2;1). Выбирая различные значения
, получим частные случаи прямых, проходящих через данную точку. Так, если
, то уравнение
определяет прямую, параллельную оси абсцисс. Если
, получим
или
, и т.д.
Если в общем уравнении прямой (3.3) все коэффициенты А, В, С отличны от нуля, то удобно преобразовать уравнение к виду
, (3.6)
которое называется уравнением прямой в отрезках. Числа и
представляют собой координаты пересечения прямой с осями ОХ и ОУ соответственно. Переход от уравнения (3.3) к уравнению (3.6) выполняется так. Записав уравнение
в виде
, делим обе части полученного уравнения на
:
или
. Обозначив,
,
, получим (3.6).
Пример 6. Привести уравнение прямой к уравнению в отрезках.
Решение. Записав , делим обе части равенства на (-6), получаем
или
. Прямая пересекает ось ОХ в точке
(-3;0), а ось ОУ − в точке (0;-2) (см. рис. 4).