Квадратная матрица A называется ортогональной

Квадратная матрица A называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов столбцов является ортонормированной.

(a_i,a_j)=∑_k=1ⁿa_kia_kj= δ_ij

E-ортогональная матрица.

Теорема: Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A:

A^TA=E

Док-во:

Необходимость.

A^T=(a_ik)^T; a_ik^T=a_ki

A^TA=∑_k=1ⁿa_ik^Ta_kj=∑_k=1ⁿa_kia_kj= δ_ij=E.

Чтд.

Достатачность.

A^TA=E

∑_k=1ⁿa_ik^Ta_kj=∑_k=1ⁿa_kia_kj

значит A-ортогональная матрица.

Следствия:

1.A^T=A^-1 –необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A.

Необходимость. A-ортогональная матрица. A^TA=E A^-1A=E значит A^T=A^-1

Достаточность.A^T=A^-1 A^-1A=E A^TA=E

2.Если A-ортогональная матрица, то A^T тоже.

(A^T)^TA^T=AA^T=AA^-1=E

A^TA=E (A^T)^TA^T=E

Значит A^T-ортогональная.

3.Матрица, обратная ортогональной, ортогональна.

A^T=A^-1 A^-1A=E

(A^-1)^-1A^-1=AA^-1=E

(A^-1)^-1A^-1=E A^TA=E A^-1=A^T

A^TA=E=AA^T

69. Линейное преобразование называется ортогональным, если в некотором ОНБ его матрица ортогональна.

Теорема: Линейное преобразование ортогонально т.ит.т.,к. оно ОНБ переводит в ОНБ.

Необходимость.

f_k=a_1ke₁+a_2ke₂+…+a_nke_n A_k-столбец матрицы преобразования, ортогональной по опр-ию.

Значит (f_i,f_j)= δ_ij

Достаточность.

По предыдущей теореме.

Теорема: Ортогональное преобразование не меняет скалярного произведения векторов.

Док-во:

Ấ(x) =x₁Ấ(e₁)+…+x_nẤ(e_n)

Ấ(y) =y₁Ấ(e₁)+…+y_nẤ(e_n)

(Ấ(x), Ấ(y))=x₁y₁+…+x_ny_n

так как Ấ(e₁),…,Ấ(e_n) –ОНБ

70. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа. Запишите в тригонометрической форме числа √3+i, -1+i.

Каждому комплексному числу z=a+ib может быть поставлен в соответствие вектор (a,b)€R^2. Длина этого вектора, равная √a² + b² называется модулем комплексного числа z и обозначается через |z|. Угол φ между данным вектором и положительным направлением оси Ox называется аргументом комплексного числа z и обозначается arg z.

Любое комплексное число z≠0 может быть представлено в виде z=|z|(cosφ +isinφ).

Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

-1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

Каждому комплексному числу Z = a + ib может быть поставлен вектор (а; b), принадлежащий R^2. Длина этого вектора, равная КВ из a^2 + b^2, называется модулем комплексного числа и обозначается через модуль Z. Угол между данным вектором и положительным направлением оси Оx называется аргументом комплексного числа (обозначается arg Z).

78. Сформулируйте основную теорему алгебры. Решите уравнение х³-64=0

Основная теорема алгебры – теорема о комплексных числах. Комплексное число Z = a + ib, где a и b – действительные числа; слагаемые a и b называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа; символ i, определяемый условием i² = -1, называется мнимой единицей. Комплексные числа вводятся в связи с необходимостью решать уравнения вида X² + 1 = 0.

Теорема: всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которых не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный (т. е. другими словами всегда имеет n корней). У данного уравнения на множестве комплексных чисел сущ-ет 3 корня. Чтобы их найти, представлю 64 в тригонометрической форме:

64=64(cos0+isin0).

Тогда x_k=³√64(cos(0+2πk/3)+isin(0+2πk/3))=

=4(cos2πk/3+isin2πk/3); k=0,1,2. т. е.

x₀=4(cos0+isin0)=4

x₁=4(cos2π/3+isin2π/3)=-2+2i√3

x₂=4(cos4π/3+isin4π/3)=-2-2i√3

79. Запишите формулу Муавра. Сколько значений принимает корень n-ой степени из комплексного числа? zⁿ=|z|ⁿ(cosnφ+sinnφ); ⁿ√z=ⁿ√|z|(cos(φ+2πk/n)+isin(φ+2πk/n)) k=0,1,…,n-1.

Корень n-ой степени из комплексного числа принимает n-1 значений.

Формула Муавра применяется для вычисления N-ой степени комплексного числа. Z ⁿ = |Z|ⁿ (cos nα + i sin nα). Корнем N-ой степени из комплексного числа Z называется такое число U, что Uⁿ = Z.

Где K = 0, 1, …, N – 1.

Корень N-ой степени из комплексного числа принимает N значений. Комплексные числа, являющиеся корнями степени N из комплексного числа Z, соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного N-угольника, вписанного в окружность радиусом корень N-ой степени из модуля с центром в точке Z=0.

59. Число Фробениуса.

Максимальное по модулю собственное значение неотриц. матрицы А наз. число Фробениуса.

Неотриц квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда когда её число Фробениуса меньше 1.

61. Продуктивная матрица.

Матрица А>=0 наз. продуктивной, если для любого вектора у>=0 сущ. Решение х>=0 ур-я: х=Ах+у.

Критерии.

1) если А>=0 и для некоторого положительного век-ра y* уравнение имеет решенеия х*>=0. 2) А>=0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е-А)^-1 сущ. и неотриц. 3) неотриц квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда когда её число Фробениуса меньше 1. ПРИМЕР. А=(0,2 0,6 0,9 0,3).

80. Дайте определение канонического и нормального вида квадратичной формы.

Квадратичная форма имеет канонический вид, если она не содержит произведений переменных.

Квадратичная форма имеет нормальный вид, если все коэффициенты при квадратах по модулю равны 1. Наиболее простой способ приведения квадратичных форм к нормальному виду – метод Лагранжа.

81. Сформулируйте закон инерции квадратичных форм.

Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к этому виду.

82. Критерий Сильвестра.

Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0…

83. Дайте определение матрицы квадратичной формы.

Матрицей квадратичной формы называется матрица называется симметрическая матрица А, элементами которой являются числа Aij=Aji.

84. Дайте определение матрицы квадратичной формы.

Матрицей квадратичной формы называется матрица называется симметрическая матрица А, элементами которой являются числа Aij=Aji.

Эллипс

Эллипс – геометрическое место точек на пл-ти, сумма расстояний от каждой икоторых до 2 заданных точек F₁ и F₂, называемых фокусами постоянна и равна 2a.

x²/a² + y²/b²=1 = 1 –каноническое уравнение эллипса. 0>E<1.

Факальный параметр p=b²/a, r=p/(1+Ecosφ) – полярное ур-ие.

r₁+r₂=2a – большая ось.