Решения типовых задач

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Задача 1

Варианты 1- 35. Докажите равенство двух множеств E и F.

Вариант 1. , .

Вариант 2. , .

Вариант 3. , .

Вариант 4.

Вариант 5. B, Æ.

Вариант 6. .

Вариант 7. , .

Вариант 8. .

Вариант 9. .

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14. , .

Вариант 15. .

Вариант 16. .

Вариант 17.

Вариант 18.

Вариант 19.

Вариант 20.

Вариант 21. Æ,

Вариант 22. Æ.

Вариант 23.

Вариант 24.

Вариант 25.

Вариант 26.

Вариант 27. Æ, .

Вариант 28. .

Вариант 29.

Вариант 30. Æ, =Æ.

Вариант 31. .

Вариант 32. .

Вариант 33. .

Вариант 34. .

Вариант 35.

Вариант 36.

РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Вариант 28. Докажите равенство двух множеств E и F, где

, .

Доказательство. Пусть А – произвольное множество, U – универсальное множество. Необходимо доказать следующее свойство для операции пересечения множеств:

А U = A.

Известно, что

1) E F;

2) F E.

В свою очередь:

1) E F ( E) [ F ];

2) F E ( F) [ E ].

Поэтому докажем, что каждое множество, стоящее по одну сторону от знака равенства, включено во множество, стоящее по другую сторону от этого знака равенства.

1) По определению пересечения

А U А. (1)

2) Если у – произвольный элемент из множества А, то также у U, так как А U. Поэтому согласно определению пересечения элемент у А U. Имеем

( у А) [ у A U ],

что означает

А А U. (2)

Из условий (1) и (2) следует равенство А U = A.

Что и требовалось доказать.

Вариант 6. Докажите равенство двух множеств E и F.

, .

Решение. 1) Пусть – произвольный элемент из множества . По определению операции пересечения : и . Условие означает, что или . Итак, имеем , или , .

a) Предположим, что , . Тогда A B. По определению объединения : , так как этот элемент принадлежит хотя бы одному из составляющих или . В случае а) из условия вытекает, что .

б) Пусть теперь , . Тогда A С, а по определению пересечения : . Видим что и в случае б) из условия вытекает, что .

Итак, в случае 1):

E F. (*).

2). Обратно, возьмём любой элемент . По определению объединения : или .

a) Пусть . Тогда по определению пересечения : , .

Поскольку , то . Имеем , . По определению пересечения . В случае а) из условия следует, что .

б) Пусть , т.е. , . Тогда , и по определению пересечения : . Опять видим, что из условия вытекает . Итак, в случае 2)

F E. (**).

Из (*) и (**) получаем .

Что и требовалось доказать.