2015-04-12
2386
Пусть Vn – n-мерное пространство, операторы A, B ϵ L(Vn); λ – число; [e]=(e1, …, en) – базис Vn; Ae, Be – матрицы операторов A, B соответственно в [e].
Теорема: Если А и В – линейные операторы ϵ L(Vn) и λ – число, то:
1) (A+B)e = Ae+Be, где (A+B)e – матрица оператора (А+В) в [e].
2) (λ ∙ A)e = λ Ae, где (λ A)e – матрица оператора λ∙A в [e].
3) (A ∙ B)e = Ae∙ Be, где (AB)e – матрица операторов АВ в [e].
Доказательство: Пусть D ϵ L(Vn) – линейный оператор; De – матрица D в [e].
Тогда и только тогда, когда D(e1, …, en) = (e1, …, en)De;
1) (A+B) (e1, …, en) = ((A+B)e1, …, (A+B)en) = (Ae1 + Be1, …, Aen + Ben) = (Ae1, …, Aen) + (Be1, …, Ben) = (e1, …,en)Ae + (e1,…,en)Be = (e1, …, en)(Ae + Be) ⇒ Ae + Be = (A+B)e
2) (λ A)e = λ Ae (λ A) (e1, …, en) = ((λ A)e1, …, (λ A)en) = (λ (Ae1), …, λ (Aen)) = λ (Ae1, …, Aen) = λ (e1, …, en) Ae = λ Ae
3) (AB) (e1, …, en) = ((AB)e1, …, (AB)en) = (A(Be1), …, A(Ben)) = A(Be1, …, Ben) = A((e1, …, en)Be) 
(e1, …, en) (AeBe) ⇒ AeBe =(AB)e
Лемма 3: Если A ϵ L(Vn), [e] = (e1, …, en) – базис, 
– матрица размеров n × k, то A((e1, …, en)C) = (Ae1, …, Aen)C = (e1, …, en)(AeC)
