Студопедия
Карамелька - детский развивающий канал


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Билет 27. Критерий диагональности матрицы линейного оператора. Теорема о приведении к диагональному виду матрицы линейного оператора с простыми собственными значениями




Опред. 15. Квадратная матрица Anxn имеет диагональный вид, если ∀i, j = 1, …, n: i ≠ j, aij = 0 ( aij = 0 ), т.е.

Теорема 11. ( Критерий диагональности матрицы линейного оператора в некотором базисе ).

Пусть Vn – n-мерное линейное пространство, A Î L( Vn ), [e] = ( e1, … , en ) – базис Vn, Ae – матрица оператора А в [e]. Матрица Ae линейного оператора в базисе [e] диагональна т. и т. т., когда базис состоит из собственных векторов оператора A, причём в этом случае

Aei = λiei i=1, …, n ( т.е. λi собственное значение соответствующее собственному вектору ei.)

Док-во: Необходимость. Пусть

тогда, по определению матрицы линейного оператора, Ae1 = λ1e1, …, Aen = λnen, т. е. e1, …, en собственные вектора оператора A, отвечающие собственным значениям λ1, …, λn.

Достаточность. Пусть e1, …, en базис из собственных векторов оператора A. Тогда Aei = λiei. i = 1, …, n.

[e]: A

Опред. Оператор называется диагонализируемым, если в пространстве Vn $ базис, в котором матрица оператора диагональна. Оператор диагонализируем в пространстве т. и т. т., когда в Vn $ базис из собственных векторов этого пространства.

Теорема 12.ПустьA Î L( Vn ). Если у оператора А $ λ1, λ2, …, λn - n различных собственных значений, то A – диагонализируемый оператор ( т. е. в Vn $ базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид ).

Док-во: Собственные значения λ1, …, λn соответствуют системе собственных векторов оператора A: e1, e2, …, en такая, что Aei = λ1e1, i = 1, …, n. Согласно теореме 10 (Если λ1, λ2, …, λk – различные собственные значения оператора A (т. е. λi ≠ λj, при i ≠ j, то собственные вектора f1, f2, … , fk, отвечающие данным собственным значениям являются линейно независимыми)) собственный вектор оператора A, отвечающий различным собственным значениям, линейно независим. Т.к. по условию собственных значений n и λi ≠ λj при i ≠ j,

то e1, … , en – линейно независим.

Т. к. dim Vn = n, то векторы e1, …, en образуют базис Vn.

Определение 16. Говорят, что квадратная матрица A приводится к диагональному виду, если она подобна диагональной матрице, т. е. если , где – диагональная матрица.

Следствие: Если матрица A имеет n различных корней, характеристического многочлена, то её можно привести к диагональному виду.





Дата добавления: 2015-04-12; просмотров: 3147; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше... 8147 - | 6638 - или читать все...

Читайте также:

 

54.90.86.231 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.002 сек.