Теорема о взаимнооднозначном соответствии в фиксированном базисе n-мерного линейного пространства между линейными операторами и квадратными матрицами порядка n

Теорема: Пусть - некоторый базис пространства

и В – квадратная матрица порядка n. Тогда линейный оператор такой, что матрица В является матрицей оператора В в базисе [e] (т.е. ).

Док-во: Построим систему векторов .

j=(1…n)

Согласно лемме 2, такой, что [e]:.

Найдем : Т.е. Ве=В

Вывод: В фиксированном базисе [e] линейного пространства существует

взаимнооднозначное соответствие между и матрицей

матрица A в [e]

Лемма 3: Если - базис, - матрица размером nxk, то без доказательства)

Замечание: Если , то В = С