Стационарные состояния, их временная зависимость. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Стационарные состояния – это состояния с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. функция U=U(x,y,z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. Уравнение Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем e^-iωt=e^-i(E/ħ)t, так что Ψ(x,y,z,t)=ψ(x,y,z)e^-i(E/ħ)t, где Е- полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя это выражение в уравнение Шредингера((–ħ²/2m)ΔΨ+U(x,y,z,t)Ψ=iħ(∂Ψ/∂t), где ħ=h/(2π), m –масса частицы, i-мнимая единица, U-потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется

Δ-оператор Лапласа(ΔΨ=∂²Ψ/∂x²+∂²Ψ/∂y²+∂²Ψ/∂z²), Ψ(x,y,z,t)-искомая волновая функция частицы) получим:

разделив на общий множитель e^-i(E/ħ)t и преобразовав придем к уравнению, определяющему функцию ψ

Δψ+(2m/ħ²)(E-U)ψ=0-уравнение Шредингера для стационарных состояний. Это уравнение имеет бесчисленное количество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбираются решения, имеющие физич.смысл. Условия: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Т.о. реальный физич.смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ.