2014-02-02
518
Вынужденные колебания. Резонанс
Дифференциальное уравнение колебаний.
Затухающие колебания.
Уравнение незатухающих колебаний
Динамика колебательных процессов.
Лекция 16
| Пружинный гармонический осциллятор рис.16.1 | Математический и физический маятник рис.16.2 | Идеальный колебательный контур рис. 16.3 |
| , | , | |
| ma = – kx, | ||
| собственная круговая частота | ||
| или | ||
| Итак, уравнение сводится к виду где y– это угол отклонения j, или смещение х из положения равновесия х, или заряд q Решения данного уравнения | ||
| Период колебаний Т = t / N. Частота колебаний n = N / t. w 0 = 2 pn | ||
| Амплитуда тока |
| Во всех реальных колебательных системах действуют: силы сопротивления (трения). Или, Момент этой силы В колебательном контуре существуют потери энергии на активном сопротивлении R. С учетом этого: | ||
| Математический маятник рис. 16.4 | Колебательный контур с последовательно соединенными элементами рис. 16.5 | |
| Коэффициент затухания | ||
| Собственная частота незатухающих колебаний | ||
| Уравнение сводится к виду – однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами | ||
| Находим решение с помощью подстановки | ||
| Тогда, подставляя, получим характеристическое уравнение затухающих колебаний. | ||
| Общее решение дифференциального уравнения имеет вид | ||
| где - корни характеристического уравнения При, | ||
| Представим, что где собственная частота затухающих колебаний, | ||
| Тогда | ||
| Решение диф. уравнения запишем в виде | ||
| рис. 16. 6 | рис.16. 7 | |
| Частота затухающих колебаний Период колебаний Т = t / N. логарифмический декремент затухания Так как, то или - добротность системы Все параметры выражаются через соответствующие постоянные системы (для маятника или контура) | ||
| Например, для контура: , | ||
| рис. 16.8 | рис. 16.9 | |||
| Пусть вынуждающая сила имеет вид | ||||
| Пусть задан момент внешней вынуждающей силы в виде | ||||
| Вводя обозначения | ||||
| - коэффициент затухания, собственная круговая частота незатухающих колебаний | , коэффициент затухания, собственная круговая частота незатухающих колебаний | |||
| Уравнение сводится к виду Или – неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами | ||||
| Решение ищем в виде | ||||
| Общее решение однородного уравнения(так как это – затухающие колебания) запишем в виде (см. предыдущий вывод) | ||||
| Частное решение неоднородного уравнения найдем методом векторных диаграмм. Пустьчастное решение уравнения вынужденных колебаний имеет вид | ||||
| Тогда | ||||
| Подстановка в диф. уравнение приводит к следующему выражению | ||||
| рис. 16.10 | ||||
| Из рисунка видно, что | ||||
| Для контура. При общим решением однородного уравнения можно пренебречь. Тогда решение ищем в виде | ||||
| Производные | ||||
| рис. 16.11 | Амплитуда и фаза находятся из рисунка так же, как и для маятника: | |||
| Резонанс | ||||
| угла отклонения | Напряжений | |||
| При малом трении, когда или, приближенное выражение: . | ||||
| рис. 16.12 | АЧХ рис. 16.13 | |||
| Мощность в цепи переменного тока , но. Или Так как ТОгда закон Джоуля – Ленца для цепей переменного тока Множитель - называется коэффициентом мощносчти и выражает сдвиг фаз между током и внешней ЭДС. Если ввести |
