Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания. Резонанс

Дифференциальное уравнение колебаний.

Затухающие колебания.

Уравнение незатухающих колебаний

Динамика колебательных процессов.

Лекция 16

Пружинный гармонический осциллятор рис.16.1	Математический и физический маятник рис.16.2	Идеальный колебательный контур рис. 16.3
	,	,
ma = – kx,
собственная круговая частота
	или
Итак, уравнение сводится к виду где y– это угол отклонения j, или смещение х из положения равновесия х, или заряд q Решения данного уравнения
Период колебаний Т = t / N. Частота колебаний n = N / t. w 0 = 2 pn
	Амплитуда тока

Во всех реальных колебательных системах действуют: силы сопротивления (трения). Или, Момент этой силы В колебательном контуре существуют потери энергии на активном сопротивлении R. С учетом этого:
Математический маятник рис. 16.4	Колебательный контур с последовательно соединенными элементами рис. 16.5
Коэффициент затухания
Собственная частота незатухающих колебаний
Уравнение сводится к виду – однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Находим решение с помощью подстановки
Тогда, подставляя, получим характеристическое уравнение затухающих колебаний.
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
где - корни характеристического уравнения При,
Представим, что где собственная частота затухающих колебаний,
Тогда
Решение диф. уравнения запишем в виде
рис. 16. 6	рис.16. 7
Частота затухающих колебаний Период колебаний Т = t / N. логарифмический декремент затухания Так как, то или - добротность системы Все параметры выражаются через соответствующие постоянные системы (для маятника или контура)
Например, для контура: ,

рис. 16.8	рис. 16.9
Пусть вынуждающая сила имеет вид
Пусть задан момент внешней вынуждающей силы в виде
Вводя обозначения
- коэффициент затухания, собственная круговая частота незатухающих колебаний	, коэффициент затухания, собственная круговая частота незатухающих колебаний
Уравнение сводится к виду Или – неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
Решение ищем в виде
Общее решение однородного уравнения(так как это – затухающие колебания) запишем в виде (см. предыдущий вывод)
Частное решение неоднородного уравнения найдем методом векторных диаграмм. Пустьчастное решение уравнения вынужденных колебаний имеет вид
Тогда
Подстановка в диф. уравнение приводит к следующему выражению
рис. 16.10
Из рисунка видно, что
Для контура. При общим решением однородного уравнения можно пренебречь. Тогда решение ищем в виде
Производные
рис. 16.11	Амплитуда и фаза находятся из рисунка так же, как и для маятника:
Резонанс
угла отклонения	Напряжений
При малом трении, когда или, приближенное выражение: .
рис. 16.12	АЧХ рис. 16.13

Мощность в цепи переменного тока , но. Или Так как ТОгда закон Джоуля – Ленца для цепей переменного тока Множитель - называется коэффициентом мощносчти и выражает сдвиг фаз между током и внешней ЭДС. Если ввести