Примеры решения задач. 1. Расстояние между двумя когерентными источниками d = 0,9 мм

1. Расстояние между двумя когерентными источниками d = 0,9 мм. Источники, испускающие монохроматический свет с длиной волны λ = 640 нм, расположены на расстоянии L = 3,5 м от экрана. Определить число светлых полос, располагающихся на 1 см длины экрана.

Дано: d = 9·10^-4 м, λ = 640 нм = 64·10^-8 м, L = 3,5 м, x = 1·10^-2 м.

Найти

Решение. В точке О на экране (рис. 9) будет максимальная освещенность: точка О равноудалена от обоих источников и и поэтому разность хода волн О и О равна нулю. В произвольной точке экрана максимум освещенности будет наблюдаться, если оптическая разность хода когерентных волн равна целому числу длин волн: , (1) где - оптические пути интерферирующих волн; λ — длина волны падающего света; — номер светлой полосы (центральная светлая полоса принята за нулевую).

Оптическая разность хода волн , где — расстояние

от центральной светлой до -й светлой полосы. Учитывая выражение (1), получим

(2)

Из выражения (2) определяем искомую величину — число светлых интерференционных полос на 1 см длины:

Подставляя в это выражение числовые значения, получим

Ответ: .

2. В просветленной оптике для устранения отражения света на поверхность линзы наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления 1,26, меньшим, чем у стекла. При какой толщине пленки отражение света от линзы не будет наблюдаться? Длина волны падающего света 0,55 мкм, угол падения 30°.

Дано: λ = 0,55 мкм = 0,55·10^-6 м; = 30°, - 1,26.

Найти .

Решение. Свет, падая на систему пленка—стекло под углом i, отражается как от верхней I, так и от нижней II поверхности пленки (рис. 10; n₁< n < п₂, n₁и n₂ — показатели преломления соответственно воздуха и стекла). Лучи S₁ и S₂ когерентны, так как образованы из одного луча S. Результат интерференции этих лучей зависит от оптической разности хода. Лучи отражаются от среды с большим показателем преломления, поэтому как на верхней, так и на нижней поверхности пленки происходит потеря полуволны и, следовательно, оптическая разность хода волн равна

. (1)

Условие минимума освещенности при интерференции (условие минимумов) имеет вид

, (2)

где =1, 2, 3,... - порядок интерференционного минимума. Из (1) и (2) следует

откуда

Полагая = 1, 2, 3, …, получим ряд возможных значений толщины пленки:

; ;

;

Ответ; = 0,35 мкм; = 0,59 мкм и т. д.

3. На дифракционную решетку Д нормально падает монохроматический свет с длиной волны 0,65 мкм. На экране Э, расположенном параллельно решетке и отстоящем от нее на расстояние 0,5 м, наблюдается дифракционная картина (рис. 11). Расстояние между дифракционными максимумами первого порядка равно 10 см. Определить постоянную дифракционной решетки и общее число глав-

ных максимумов, получаемых с помощью этой решетки.

Дано: λ = 0,65·10^-6 м, L = 0,5 м, = 0,1 м, = 1.

Найти .

Решение. Запишем условие главных максимумов дифракционной решетки: , (1) где с - постоянная дифракционной решетки; - угол отклонения лучей от нормального направления распространения света; - порядок главного дифракционного максимума; λ — длина волны падающего на решетку монохроматического света.

По условию задачи, =1. Учитывая, что , (см. рис. 11), имеем . (2). Подставляя (2) в (1), получим

или . (3)

Подставляя в (3) числовые значения величин, находим

Для определения общего числа главных максимумов, даваемых дифракционной решеткой, исходим из условия, что максимальный угол отклонения лучей от нормального направления распространения не может превышать 90°, т. е. sin 90°= 1, тогда формула (1) примет вид = с/λ. Производим вычисления .

Общее число максимумов равно , т. е. влево и вправо от центрального максимума будут наблюдаться по максимумов:

Ответ: с = 6,5·10^-6 м, = 21.

4. Определить расстояние между атомными плоскостями в кристалле каменной соли, если дифракционный максимум первого порядка наблюдается при падении рентгеновских лучей с длиной волны 0,147 нм под углом 15°12' к поверхности кристалла.

Дано: λ = 0,147 нм = 1,47·10^-10 м, = 15°12', = 1.

Найти .

Решение. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах - это результат интерференции рентгеновского излучения, зеркально отражающегося от системы параллельных плоскостей, которые проходят через узлы - атомы (например, А) кристаллической решетки. Эти плоскости называют атомными (рис. 12). Отражение наблюдается лишь в тех направлениях, соответствующих дифракционным максимумам, которым удовлетворяет соотношение

или , (1)

где = 1, 2, 3,... - порядок дифракционного максимума; -угол скольжения, т. е. угол между падающим лучом и плоскостью кристалла; - расстояние между соседними плоскостями, называемое межплоскостным. Исходя из условия (1) и учитывая, что = 1, имеем

Ответ: нм.

5. Луч света, проходя слой льда, падает на алмазную пластинку, частично отражается, частично преломляется. Определить, каким должен быть угол падения, чтобы отраженный луч был максимально поляризован. Найти степень поляризации отраженного и преломленного света для этого угла падения с помощью формул Френеля.

Дано: = 1,31, = 2,42.

Найти:

Решение. Отраженный свет максимально поляризован при угле падения , удовлетворяющем закону Брюстера: , (1) где = - относительный показатель преломления отражающей среды. Если , то отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны (рис. 13). Проходящий свет поляризован лишь частично. Из выражения (1) находим

С помощью формул Френеля определяем степень поляризации отраженного луча:

Здесь

- интенсивности света, распространяющегося в направлениях, перпендикулярном и параллельном плоскости падения; - интенсивность естественного света; - угол падения; - угол преломления.

Если свет падает на диэлектрик под углом полной поляризация (). то, учитывая, что = 90°, для отраженного луча из (2) получим , , так как ,

Степень поляризации отраженного луча

т. е. луч максимально поляризован.

Найдем интенсивности света после преломления в направлениях, перпендикулярном и параллельном плоскости преломления:

;

Степень поляризации преломленного луча

Ответ: = 61,°5, = 100 %, =17 %.

6. Определить, во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света, прошедшего через два николя, плоскости поляризации которых составляют угол 45°. Каждый николь поглощает 8 % света, падающего на него (рис. 14).

Дано: α = 45°, = 0,08.

Найти .

Решение. В результате двойного лучепреломления естественный луч света, попадая в призму П — поляризатор, раздваивается на обыкновенный и необыкновенный лучи. Оба луча поляризованы, но во взаимно перпендикулярных плоскостях. Обыкновенный луч, подчиняясь закону преломления, преломится и, подойдя к слою канадского бальзама в николе, испытывает полное отражение и поглотится зачерненной боковой гранью призмы. Необыкновенный луч проходит через призму без отклонения, интенсивность его уменьшается из-за поглощения света призмой на величину .

Интенсивность света, прошедшего через поляризатор, равна = 0,5(1 — ) , (1) где: = 0,08 (т.е. 8%) — коэффициент поглощения света в призме; — интенсивность естественного света, падающего на поляризатор.

Поляризованный свет, войдя во второй николь — анализатор А, опять поглощается и интенсивность его уменьшается на величину ; кроме того, интенсивность поляризованного света из-за несовпадения плоскостей поляризации поляризатора и анализатора согласно закону Малюса:

, (2)

где α — угол между плоскостями поляризации поляризатора и анализатора; и — коэффициент поглощения; — интенсивность поляризованного света, падающего на анализатор; — интенсивность поляризованного света, прошедшего через анализатор. Подставляя выражение (1) в (2), имеем

(3)

Из соотношения (3) следует

, .

Подставляя числовые значения, получим

; .

Ответ: = 5,

7. Показатель преломления сероуглерода для света с длинами волн 509, 534 и 589 нм равен соответственно 1,647; 1,640 и 1,630. Вычислить фазовую и групповую скорости света вблизи длины волны 534 нм.

Решение. Групповая скорость связана с фазовой скоростью света в среде соотношением

. (1)

Учитывая, что , из (1) получаем .

Для средней дисперсии вещества имеем

, (2)

где / — средняя дисперсия показателя преломления среды. Для λ = 534 нм и = 1,640 находим относительную дисперсию

Из соотношения (2) определяем

(3)

Учитывая, что фазовая скорость , находим ее значение вблизи λ = 534 нм

По формуле (3) вычисляем групповую скорость

Ответ: = 1,83·10⁸ м/с, = 1,70·10^-8 м/с.

8. В черенковском счетчике из каменной соли релятивистские протоны излучают в фиолетовом участке спектра в конусе с раствором 98°,80; Определить кинетическую энергию протонов. Длина волны фиолетовых лучей 0,4 мкм. Коэффициент преломления для этого участка спектра 1,54.

Дано: λ = 0,4·10^-6 м, = 49,°40, = 1,54, = 938,23 МэВ (см. табл. 18).

Найти Е_к.

Решение. Если частица движется в веществе со «сверхсветовой» скоростью V, то возникает свечение Вавилова—Черенкова при условии

, (1)

где — скорость света в вакууме; — показатель преломления вещества; — фазовая скорость света.

Свет, возникающий на каждом малом участке траектории заряженной частицы, распространяется вдоль образующих конуса, вершина которого О (рис. 15), расположена на этом участке, ось совпадает с траекторией частицы, а образующие составляют с осью угол

(2) или (3)

Так как излучают релятивистские протоны, то их кинетическая энергия равна

(4)

Величину V/с определим из соотношения (3)

Используя формулу (4), находим кинетическую энергию

Ответ: =14 ГэВ.

9. Во сколько раз увеличится мощность излучения абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения передвинется от красной границы видимого спектра к его фиолетовой границе?

Дано: λ_к = 0,76 мкм; λ_ф = 0,38 мкм.

Найти ,

Решение. Длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно черного тела, определяется из первого закона смещения Вина: , (1) где Т — термодинамическая температура излучателя; = 2,89·10^-3 м·К — постоянная Вина. По формуле (1) определяем температуру, соответствующую красной и фиолетовой границам видимой области спектра:

Т_к = / , Т_ф = /

Мощность излучения абсолютно черного тела , где — энергетическая светимость абсолютно черного тела; S — площадь поверхности излучающего тела. В соответствии с законом Стефана—Больцмана

(2)

где = 5,67·10^-8 Вт/(м²·К⁴) — постоянная Стефана—Больцмана. Для красной и фиолетовой границ видимой области спектра

Из формул (1) и (2) следует

, т.е.

Отношение / = показывает, во сколько раз увеличивается мощность излучения абсолютно черного тела:

Ответ: Мощность излучения увеличится в 16 раз.

10. На зачерненную поверхность нормально падает монохроматический свет с длиной волны 0,65 мкм, производя давление 0,5·10^-5 Па. Определить концентрацию фотонов вблизи поверхности и число фотонов, падающих на площадь 1 м² в 1 с.

Дано: λ = 0,65·10^-6 м, р = 0,5·10^-5 Па, = 0, S = 1 м², = 1 с.

Найти: .

Решение. Давление света при нормальном падении на поверхность с коэффициентом отражения вычисляется по формуле

(1) или , (2)

где — объемная плотность энергии; Е_е — энергетическая освещенность; с — скорость света в вакууме; — коэффициент отражения поверхности, в данном случае .

Объемная плотность энергии равна произведению концентрации фотонов (числа фотонов в единице объема) на энергию одного фотона , т.е.

, (3)

откуда

. (4)

Определяя объемную плотность энергии из (1) и подставляя в (4), имеем

; (5)

Число фотонов, падающих на площадь 1 м² за 1 с, численно равно отношению энергетической освещенности к энергии одного фотона:

. (6)

Энергетическую освещенность определяем из (2) и, подставляя в (6), получаем

. (7)

С учетом (5) выражение (7) примет вид . Подставляя числовые значения, получаем

Ответ: = 1,6·10¹³ м^-3, = 4,8·10²¹с^-1·м^-2.

11. Угол рассеяния фотона с энергией 1,2 МэВ на свободном электроне 60°. Найти длину волны рассеянного фотона, энергию и импульс электрона отдачи. Кинетической энергией электрона до соударения пренебречь.

Дано: ε = 1,2 МэВ = 1,92·10^-13 Дж, = 60°.

Найти: λ₂, Т_е, р_е.

Решение. Изменение длины волны фотона при комптоновском рассеянии равно

, (1)

где и — длины волн падающего и рассеянного фотонов; = 6,62·10^-34 Дж·с — постоянная Планка; = 9,11·10^-31 кг — масса покоя электрона; с = 3·10⁸ м/с — скорость света в вакууме; Λ = 2,43·10^-12 м — комптоновская длина волны; — угол рассеяния (рис. 16). На рисунке — импульсы падающего и рассеянного фотонов.