Примеры решения заданий

Пример 1. Телефонная АТС имеет одну линию, на которую в сред-
нем приходит 0,8 вызова в мин. Среднее время разговора 1,5 мин. Вызов, пришедший во время разговора, не обслуживается. Считая потоки вызовов пуассоновскими, найти абсолютную и относительную пропускную способности станции, вероятность отказа в обслуживании, а также среднее время пребывания заявки в системе.

Решение:

Телефонную станцию рассматриваем как одноканальную СМО с отказами. За единицу времени примем 1 мин.

Параметры системы следующие:

мин;

l = 0,8 вызовов/мин;

вызовов/мин.

Рассчитаем относительную пропускную способность следующим образом:

т. е. в среднем обслуживается 45 % поступающих в систему заявок.

Абсолютная пропускная способность (интенсивность выходного потока заявок) равна:

A = l Q = 0,8 × 0,455 = 0,364 вызовов/мин.

Как видим, А < m, поскольку при расчете А учитываются еще и те заявки, которым было отказано в обслуживании.

Вероятность отказа в обслуживании рассчитывается следующим образом:

т. е. в среднем 54,4 % поступивших в систему заявок получают отказ в обслуживании.

Среднее время пребывания заявки в системе вычисляется следующим образом:

мин.

Пример 2. В отделении банка на обслуживании клиентов работают 3 оператора. Среднее время обслуживания одного клиента оператором – 12 мин. В среднем за час в банк обращаются 15 клиентов. Если все операторы заняты, клиенты не обслуживаются банком. Найти основные характеристики работы банка, а также вероятность того, что не менее двух каналов простаивают.

Решение:

Банк можно рассматривать как многоканальную СМО с отказами. За единицу времени примем 1 час.

Параметры системы равны:

n = 3;

Т_обс = 12 мин = 0,2 ч;

l = 15 клиентов /ч;

клиентов/ч.

Рассчитаем параметр a по следующей формуле:

Вероятность того, что система свободна, определяется по формуле

Вероятность отказа в обслуживании равна

Относительная пропускная способность равна

Q = 1 – P_отк= 1 – 0,346 = 0,654.

Это означает, что из каждых 100 клиентов, обратившихся в банк, в среднем будут обслужены 65 клиентов. При этом абсолютная пропускная способность СМО составит следующую величину:

A = l Q = 15 × 0,654 = 9,81 клиентов/ч,

таким образом, банк обслуживает не 15 клиентов/ч, а меньше, что вызвано случайностью потока заявок.

Среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок, вычисляется следующим образом:

Так как число каналов равно 3, а занято 2 канала, то это означает, что простаивает 1 канал.

Пример 3. В пункте обмена валюты работают два оператора, каждый их которых обслуживает клиента в среднем за 2,5 мин. По условиям безопасности в помещении пункта может находиться одновременно не более 5 человек, включая обслуживаемых клиентов. Если помещение заполнено, то очередной клиент не становится в очередь, а уходит. В среднем клиенты приходят каждые 2 мин. Найти основные характеристики работы обменного пункта.

Решение:

Математической моделью данного обменного пункта является двух-
канальная СМО (n = 2) с ожиданием и ограничением на длину очереди (m = 3). За единицу времени примем 1 мин.

Параметры системы следующие:

n = 2;

m = 3;

мин;

клиентов/мин;

клиентов /мин.

Рассчитаем параметр a следующим образом:

Вероятность того, что система свободна (оба канала свободны) равна

Вероятность отказа в обслуживании рассчитывается следующим образом:

Это означает, что из каждых 100 клиентов, обратившихся в пункт, в среднем будут обслужены около 95 человек.

Относительная пропускная способность рассчитывается следующим образом:

Q = 1 – P_отк = 1 – 0,047 = 0,953.

Абсолютная пропускная способность равна

A = l× Q = 0,5 × 0,953 = 0,477 клиентов/мин,

т. е. из обменного пункта в среднем выходят 0,48 клиентов/мин.

Среднее число каналов, занятых обслуживанием заявок, вычисляется по формуле

Средняя длина очереди рассчитывается следующим образом:

Среднее число заявок, находящихся в системе равно

L_сис = L_оч + K = 0,416 + 1,191 = 1,607.

Среднее время ожидания заявки в очереди равно

мин.

Среднее время пребывания заявки в системе равно

мин.

Пример 4. В кассе метрополитена, продающей карточки на проезд, работают два окна. В среднем один кассир тратит на обслуживание одного пассажира 0,5 мин. В среднем к кассе подходит 3 человека в мин. Найти основные характеристики работы кассы.

Решение:

Касса метрополитена моделируется двухканальной СМО с ожиданием и без ограничения на длину очереди. За единицу времени примем 1 мин.

Параметры системы следующие:

n = 2;

мин;

чел/мин;

чел/мин.

Рассчитаем параметр и проверим выполнение условия a/ n < 1 (для СМО с неограниченной очередью). Так как данное условие выполняется (1,5 < 2), то мы приступим к расчету основных характеристик СМО: