Изолированные особые точки

Точка называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки, в которой аналитична всюду, кроме самой точки .

Изолированная особая точка функции называется:

– устранимой особой точкой, если существует конечный предел , ;

– полюсом, если ;

– существенно особой, если не существует.

Точка является полюсом порядка , если для функции точка является нулем порядка . Полюс порядка называется простым полюсом.

Теорема 2 Для того чтобы точка являлась полюсом порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы функцию можно было представить в виде:

,где функция аналитична в точке и .

Аналитическая функция называется мероморфной в области , если не имеет в ней других особых точек, кроме полюсов.

Пусть аналитическая функция в окрестности точки разлагается в ряд Лорана:

, .

Теорема 3 Для того чтобы точка была устранимой особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана функции не содержал членов с отрицательными степенями разности (ряд Лорана не содержит главной части).

Теорема 4 Для того чтобы точка была полюсом функции , необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана функции содержал конечное число членов с отрицательными степенями разности (в главной части ряда содержится конечное число членов).

Теорема 5 Для того чтобы точка была существенно особой точкой функции , необходимо и достаточно, чтобы ряд Лорана содержал бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (в главной части ряда содержится бесконечно много членов с отрицательными показателями).

Исследование характера бесконечно удаленной особой точки удобнее проводить путем замены , при которой точка переходит в точку . Тогда:

– если в разложении в ряд Лорана функции нет членов с положительными степенями , то бесконечно удаленная точка называется устранимой особой точкой функции ;

– если в разложении в ряд Лорана функции есть лишь конечное число членов с положительными степенями , то бесконечно удаленная точка называется полюсом функции ;

– если в разложении в ряд Лорана функции есть бесконечно много членов с положительными степенями , то бесконечно удаленная точка называется существенно особой точкой функции .

Функции , , , , в бесконечно удаленной точке имеют существенную особенность, так как их разложения в ряд Лорана содержат бесконечное множество положительных степеней .