Вычисление вычетов

Вычет можно найти либо непосредственно по определению

, либо используя разложение в ряд Лорана: .

Рассмотрим вычисление вычетов в различных особых точках.

Вычисление вычетов функции относительно устранимой особой точки. Пусть есть устранимая особая точка функции . В этом случае в разложении в ряд Лорана отсутствует главная часть. Поэтому .

Вычисление вычетов функции относительно полюса. Пусть точка является простым полюсом функции . Тогда вычет находится по формуле

Если функция есть частное двух аналитических в точке функций , где , имеет простой нуль в точке , , , то точка является простым полюсом функции и . Пусть точка является полюсом порядка функции . Тогда вычет находится по формуле

Вычисление вычетов функции относительно существенно особой точки.Пусть точка является существенно особой точкой функции . Тогда для вычисления вычета функции в этой точке непосредственно определяют коэффициент в разложении функции в ряд Лорана.

Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки находится с помощью разложения функции в ряд Лорана в окрестности этой точки. Поэтому вычет функции относительно равен взятому с противоположным знаком коэффициенту при первой отрицательной степени в разложении Лорана:

Вычет аналитической функции относительно бесконечно удаленной устранимой особой точки может оказаться отличным от нуля.

Теорема 1 Если – функция, аналитическая в каждой точке расширенной плоскости , за исключением конечного числа изолированных особых точек, то

Вычисление определенных интегралов от функции комплексного переменного.

Вычисление интегралов по замкнутому контуру. Основная теорема о вычетах часто используется для вычисления интегралов комплексного переменного по замкнутому контуру.

Пример. Вычислить , где

Решение. В круге функция имеет в точке полюс третьего порядка, в точках полюсы первого порядка, причем точка не принадлежит кругу .

Тогда

Вычисление интегралов от рациональных функций. Пусть – рациональная функция, где , – многочлены степеней и соответственно. Если функция непрерывна на всей действительной оси и , то

где – сумма вычетов функции во всех полюсах, расположенных в верхней полуплоскости .

Пример. Вычислить интеграл , .

Решение. Так как подынтегральная функция – четная, то

Введем функцию , которая на действительной оси (при ) совпадает . Функция имеет в верхней полуплоскости полюс второго порядка в точке . Вычет относительно этого полюса равен

Тогда .

Интегралы вида ,где – рациональная функция от и , ограниченная внутри промежутка интегрирования.

С помощью замены

, , ,

интеграл сводится к интегралу от рациональной функции комплексного переменного по окружности .

К интегралу применима основная теорема о вычетах. Тогда .

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Введем замену . Тогда

, .

Подставим в интеграл

Функция в точке имеет простой полюс 2-го порядка. Поэтому

Отсюда .

Интегралы вида . Вычисление этих интегралов основано на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть функция , заданная на всей числовой оси , может быть аналитически продолжена на верхнюю полуплоскость . Функция является аналитической в верхней полуплоскости за исключением конечного числа изолированных точек , , …, . И пусть существуют такие положительные числа , , , что для всех точек верхней полуплоскости, удовлетворяющих условию , имеет место оценка . Тогда несобственный интеграл существует и вычисляется по формуле

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Функция определена на всей действительной оси . Ее аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость функция является аналитической в каждой точке верхней полуплоскости за исключением точки , являющейся полюсом 3-го порядка. На действительной оси полюсов нет При этом для всех точек верхней полуплоскости, удовлетворяющих условию имеет место оценка

Поэтому для исходного интеграла можно применить теорему 1

Следовательно,

Интегралы вида , . Интегралы вида , , где – рациональная функция, любое действительное число вычисляются с использованием леммы Жордана.

Лемма Жордана. Пусть – аналитическая в верхней полуплоскости , за исключением конечного числа особых точек, и стремится в этой полуплоскости к нулю при . Тогда при

где контур – полуокружность в верхней полуплоскости с центром в точке 0 и радиусом (рис.1.).

Рис.1.

Пример. Вычислить интеграл , где , .

Решение. Введем вспомогательную функцию

Видно, если , то совпадает с подынтегральной функцией . Рассмотрим контур, указанный на рисунке 1. При достаточно большом на контуре функция удовлетворяет неравенству . Следовательно, при .