Ряд вида ,называется рядом Лорана. Здесь , – фиксированная точка комплексной плоскости; – переменная точка; – коэффициенты ряда.
Ряд Лорана представляет собой сумму двух рядов
.
Ряд называется главной частью, ряд – правильной частью ряда Лорана. Заменой переменной главная часть ряда Лорана преобразуется в степенной ряд, который сходится к аналитической функции в круге . Возвращаясь к переменной , имеем, что главная часть сходится к функции в области . Область сходимости представляет собой внешность круга радиуса с центром в точке .
Правильная часть ряда Лорана представляет собой степенной ряд, поэтому его областью сходимости является круг радиуса с центром в точке . Внутри этого круга ряд сходится к некоторой аналитической функции .
Если , то существует общая область сходимости рядов, составляющих ряд Лорана. Внутри кольца ряд Лорана сходится к некоторой аналитической функции . Если , то ряд Лорана расходится.
Областью сходимости ряда Лорана называется общая часть сходимости его главной и правильной частей.
Теорема 2 Функция , аналитическая в кольце , однозначно представляется в этом кольце рядом Лорана , где коэффициенты вычисляются по формуле
, ,
– любой замкнутый контур в кольце , содержащий точку внутри.
Рядом Лорана для аналитической функции в окрестности бесконечно удаленной точки называется ряд ,сходящийся в кольце .
При преобразовании точка отображается в точку и окрестность бесконечно удаленной точки – в окрестность точки . В окрестности точки функция является аналитической и ее разложение в ряд Лорана есть . Возвращаясь к прежней переменной , получаем ряд Лорана для функции в окрестности бесконечно удаленной точки : ,где , .