2015-04-17
837
Ряд вида 
,называется рядом Лорана. Здесь 
, 
– фиксированная точка комплексной плоскости; 
– переменная точка; 
– коэффициенты ряда.
Ряд Лорана представляет собой сумму двух рядов
.
Ряд 
называется главной частью, ряд 
– правильной частью ряда Лорана. Заменой переменной 
главная часть ряда Лорана преобразуется в степенной ряд, который сходится к аналитической функции 
в круге 
. Возвращаясь к переменной , имеем, что главная часть сходится к функции 
в области 
. Область сходимости представляет собой внешность круга радиуса 
с центром в точке .
Правильная часть ряда Лорана представляет собой степенной ряд, поэтому его областью сходимости является круг радиуса 
с центром в точке . Внутри этого круга ряд сходится к некоторой аналитической функции 
.
Если 
, то существует общая область сходимости рядов, составляющих ряд Лорана. Внутри кольца 
ряд Лорана сходится к некоторой аналитической функции 
. Если 
, то ряд Лорана расходится.
Областью сходимости ряда Лорана называется общая часть сходимости его главной и правильной частей.
Теорема 2 Функция 
, аналитическая в кольце , однозначно представляется в этом кольце рядом Лорана 
, где коэффициенты вычисляются по формуле
, 
,
– любой замкнутый контур в кольце , содержащий точку внутри.
Рядом Лорана для аналитической функции в окрестности бесконечно удаленной точки 
называется ряд 
,сходящийся в кольце 
.
При преобразовании 
точка 
отображается в точку 
и окрестность бесконечно удаленной точки – в окрестность точки . В окрестности точки функция 
является аналитической и ее разложение в ряд Лорана есть 
. Возвращаясь к прежней переменной , получаем ряд Лорана для функции в окрестности бесконечно удаленной точки : 
,где 
, 
.
