g (первый замечательный предел).
Предварительно докажем следующее неравенство:
. (4.3)
Из рис. 4.1 видно, что при выполнено неравенство:
. (4.4)
Обозначая через x радианную меру угла Ð АОВ, из неравенства (4.4) получим
.
Далее, после сокращения на мы приходим к неравенству (4.3).
Разделив на каждый из членов неравенства (4.3), получим:
.
Следовательно .
Но (в силу неравенства 4.3).
Таким образом, .
Из последнего неравенства следует, что
. (4.5)
В силу нечетности функции , неравенство (4.5) не изменится при изменении знака x, то есть оно выполнено при всех x ¹ 0, .
Неравенство (4.5) позволяет доказать, что .
Действительно, для любого положительного числа e > 0 в качестве d выберем .
Тогда при любом x ¹0: (а, следовательно, ) будет выполнено неравенство (4.5): .3
Следствия из первого замечательного предела.
1. g Следствие 1. .
4 .3
2. g Следствие 2. .
4 .3
3. 1 Следствие 3. .
Следствие 3 доказывается аналогично следствию 2.
Пример 4.7. Найти предел
Для раскрытия неопределенности вида воспользуемся первым замечательным пределом и следствием 3. Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x ¹ 0:
|
|
Задача 4.8. Найти предел
Решение. Мы имеем дело с неопределенностью вида . Произведем
замену переменной: , тогда и .
.
Сравнение бесконечно малых величин.
Бесконечно малая величина называется бесконечно малой величиной более высокого порядка по сравнению с бесконечно малой величиной , если .
В этом случае пишут .
Две бесконечно малые величины и называются бесконечно малыми величинами одного порядка, если .
В данном случае пишут , или .
Две бесконечно малые величины и называются эквивалентными бесконечно малыми величинами, если .
Первый замечательный предел и его следствия дают нам примеры эквивалентных бесконечно малых величин при :
.
При решении некоторых задач бесконечно малые величины можно заменять эквивалентными.
Пример 4.9. Найти предел
Мы имеем дело с неопределенностью вида . Заменим бесконечно малую величину на эквивалентную бесконечно малую величину , бесконечно малую величину на эквивалентную бесконечно малую величину , и бесконечно малую величину на эквивалентную бесконечно малую величину .
Получим:
.