Предел частного двух функций

Раскрытие неопределенностей вида и .

Рассмотрим предел частного двух функций при , имеющих предел в точке x ₀. При этом возможны следующие случаи:

1. , тогда по теореме 4.7 .

2. , тогда .

3. , тогда .

4. , тогда .

5. , тогда .

6. .

7. .

В последних двух случаях частное двух функций может стремиться к любому пределу – к константе, нулю или бесконечности. В таких случаях говорят, что мы имеем дело с неопределенностью. Случай 6 называется неопределенностью вида , а случай 7 – неопределенностью вида . Нахождение предела числовой последовательности или функции в случае наличия неопределенности называется раскрытием неопределенности. Познакомимся с основными методами раскрытия неопределенностей на примерах.

1. Раскрытие неопределенности вида .

Пример 4.1. Найти предел

Очевидно, что при числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности. Действительно, с ростом n слагаемые многочленов, содержащие старшие степени n будут намного больше остальных слагаемых. Для раскрытия неопределенности вида разделим числитель и знаменатель дроби на n в самой высокой (старшей) степени для обоих многочленов (т.е. на n ²). Получим:

.

С ростом n выражения стремятся к нулю. Последовательно применяя теоремы 4.3 и 4.1, получим:

.

Задача 4.2. Найти предел

Решение. Для раскрытия неопределенности вида разделим числитель и знаменатель дроби на x ². Получим:

так как при выражения стремятся к нулю.

2. Раскрытие неопределенности вида .

Пример 4.3. Найти предел

При подстановке вместо x числа –1 мы получаем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности разложим многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, на множители. При этом один из корней, как числителя, так и знаменателя равен –1. Второй корень найдем по теореме Виета. Для числителя . Для знаменателя . Итак,

.

После сокращения числителя и знаменателя на (x + 1) ¹ 0 неопределенность пропадает и предел легко вычисляется с помощью подстановки x = –1.

Задача 4.4. Найти предел

Решение. При подстановке вместо x числа 2 мы получаем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности сначала избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, а затем разложим выражения, стремящиеся к нулю, на множители:

3. Раскрытие неопределенностей вида .

Пределы, содержащие неопределенности вида или обычно с помощью алгебраических преобразований сводят к пределам, содержащим неопределенности вида или .

Пример 4.5. Найти предел .

Очевидно, что при уменьшаемое и вычитаемое стремятся к бесконечности. Для раскрытия неопределенности сначала превратим разность в частное двух функций, умножив и разделив ее на сопряженное выражение. Получив неопределенность вида , раскроем ее с помощь деления числителя и знаменателя полученной дроби на старшую степень x:

.

Задача 4.6. Найти предел .

Решение. Нетрудно установить, что предел второго сомножителя равен нулю (проверьте самостоятельно). Следовательно, в данном примере мы имеем дело с неопределенностью вида . Для раскрытия этой неопределенности умножим и разделим исходную функцию на сумму . Получив неопределенность вида , раскроем ее с помощью деления числителя и знаменателя полученной дроби на x:

.