Теоремы о пределах

1. Предел числовой последовательности.

2 Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел , каждое из которых является значением некоторой функции натурального аргумента (). При этом называется членом последовательности, а n – его номером.

Пределом числовой последовательности при n, стремящемся к бесконечности, называют такое число А, к которому неограниченно приближаются члены последовательности при неограниченном росте номера n. Дадим более точное определение предела числовой последовательности с использованием известных нам кванторов.

2 Число A называют пределом числовой последовательности при n, стремящемся к бесконечности (), если для любого найдется такой номер , начиная с которого (т.е. при всех натуральных ) будет выполнено неравенство . Или

.

2Говорят, что если

.

Примерно аналогично можно сформулировать определение предела в том случае, когда он равен минус бесконечности. Предоставляем это читателям.

Произвольная последовательность может стремиться к конечному или бесконечному пределу, или совсем не иметь предела при . Рассмотрим три примера.

Ø Докажем, что . Для этого для любого числа достаточно указать такой номер , начиная с которого (т.е. при ) будет выполнено неравенство . Решим данное неравенство относительно n: . Следовательно, в качестве можно выбрать любое натуральное число, превосходящее . Например, можно взять целую часть числа плюс единица ().

Ø Докажем, что . Для этого достаточно для любого числа указать такой номер , начиная с которого (т.е. при ) будет выполнено неравенство . Решим данное неравенство относительно n: . Следовательно , где под символом […], как и в предыдущем примере, обозначается целая часть действительного числа.

Ø Последовательность с общим членом вообще не имеет никакого предела. Действительно, с одной стороны члены последовательности ограничены (), и, следовательно, предел последовательности не может быть равен плюс или минус бесконечности. С другой стороны, он не может быть равен никакой константе А. Действительно, какое бы мы не взяли число А, существуют члены последовательности со сколь угодно большими номерами, отличающиеся от А не меньше, чем на 1.

2. Предел функции.

2.Число А называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к x ₀, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для любого x ¹ x ₀, удовлетворяющего неравенству | x – x ₀ | < d, выполнено неравенство | f (x) – А | < e. Или, сокращенно, , если

.

В качестве упражнения сформулируйте определения предела в тех случаях, когда переменная x стремится к , или предел равен .

2 Если , то функция называется бесконечно малой величиной при .

g Теорема 4.1. Пусть и , тогда (сумма или разность двух бесконечно малых величин является бесконечно малой величиной).

4 Пусть e – произвольное положительное число. Тогда из условия теоремы следует, что для выбранного e

(4.1)
и

. (4.2)
Таким образом, если для любого e > 0 выбрать , то из неравенств (4.1) и (4.2) будет следовать, что

.

Следовательно, . 3

Аналогично доказываются теоремы:

1 Теорема 4.2. Если и с – некоторая константа, то

(произведение бесконечно малой величины на константу является бесконечно малой величиной).

1 Теорема 4.3. Пусть и , тогда (произведение двух бесконечно малых величин является бесконечно малой величиной).

g Теорема 4.4. Если , где А – некоторая константа, то разность является бесконечно малой величиной.

4 Из условия теоремы следует, что

.

Переписывая последнее неравенство в виде , мы получим, что . 3

g Теорема 4.5. Если , , где А и В – некоторые константы, то .

4 Из теоремы 4.4 следует, что и ,
где и – бесконечно малые величины. Тогда

.

Но, в соответствии с теоремой 4.1, функция является бесконечно малой величиной. Следовательно, . 3

g Теорема 4.6. Если , , где А и В – некоторые константы, то .

4 Из теоремы 4.4 следует, что и ,
где и – бесконечно малые величины. Тогда

.
В соответствие с теоремами 4.2 и 4.3 выражения и являются бесконечно малыми величинами. Следовательно,
. 3

Аналогично доказываются следующие утверждения:

1 Теорема 4.7. Если , , где А и В – некоторые константы, причем В ¹ 0, то .

1 Теорема 4.8. Если , , то

.

1 Теорема 4.9. Пусть , и , и пусть существует такая функция и такое d > 0, что для любого x ¹ x ₀, удовлетворяющего неравенству | x – x ₀ | < d выполнено неравенство . Тогда существует и равен А.