2015-04-01
855
1. Предел числовой последовательности.
2 Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел 
, каждое из которых является значением некоторой функции 
натурального аргумента (
). При этом 
называется членом последовательности, а n – его номером.
Пределом числовой последовательности при n, стремящемся к бесконечности, называют такое число А, к которому неограниченно приближаются члены последовательности при неограниченном росте номера n. Дадим более точное определение предела числовой последовательности с использованием известных нам кванторов.
2 Число A называют пределом числовой последовательности при n, стремящемся к бесконечности (
), если для любого 
найдется такой номер 
, начиная с которого (т.е. при всех натуральных 
) будет выполнено неравенство 
. Или
.
2Говорят, что 
если
.
Примерно аналогично можно сформулировать определение предела в том случае, когда он равен минус бесконечности. Предоставляем это читателям.
Произвольная последовательность может стремиться к конечному или бесконечному пределу, или совсем не иметь предела при 
. Рассмотрим три примера.
Ø Докажем, что 
. Для этого для любого числа достаточно указать такой номер 
, начиная с которого (т.е. при ) будет выполнено неравенство 
. Решим данное неравенство относительно n: 
. Следовательно, в качестве можно выбрать любое натуральное число, превосходящее 
. Например, можно взять целую часть числа плюс единица (
).
Ø Докажем, что 
. Для этого достаточно для любого числа 
указать такой номер 
, начиная с которого (т.е. при ) будет выполнено неравенство 
. Решим данное неравенство относительно n: 
. Следовательно 
, где под символом […], как и в предыдущем примере, обозначается целая часть действительного числа.
Ø Последовательность 
с общим членом 
вообще не имеет никакого предела. Действительно, с одной стороны члены последовательности ограничены (
), и, следовательно, предел последовательности не может быть равен плюс или минус бесконечности. С другой стороны, он не может быть равен никакой константе А. Действительно, какое бы мы не взяли число А, существуют члены последовательности со сколь угодно большими номерами, отличающиеся от А не меньше, чем на 1.
2. Предел функции.
2.Число А называется пределом функции y = f (x) при x, стремящемся к x 0, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для любого x ¹ x 0, удовлетворяющего неравенству | x – x 0 | < d, выполнено неравенство | f (x) – А | < e. Или, сокращенно, 
, если
.
В качестве упражнения сформулируйте определения предела в тех случаях, когда переменная x стремится к 
, или предел равен .
2 Если 
, то функция 
называется бесконечно малой величиной при 
.
g Теорема 4.1. Пусть 
и 
, тогда 
(сумма или разность двух бесконечно малых величин является бесконечно малой величиной).
4 Пусть e – произвольное положительное число. Тогда из условия теоремы следует, что для выбранного e
(4.1)
и
. (4.2)
Таким образом, если для любого e > 0 выбрать 
, то из неравенств (4.1) и (4.2) будет следовать, что
.
Следовательно, . 3
Аналогично доказываются теоремы:
1 Теорема 4.2. Если и с – некоторая константа, то
(произведение бесконечно малой величины на константу является бесконечно малой величиной).
1 Теорема 4.3. Пусть и , тогда 
(произведение двух бесконечно малых величин является бесконечно малой величиной).
g Теорема 4.4. Если 
, где А – некоторая константа, то разность 
является бесконечно малой величиной.
4 Из условия теоремы следует, что
.
Переписывая последнее неравенство в виде 
, мы получим, что 
. 3
g Теорема 4.5. Если , 
, где А и В – некоторые константы, то 
.
4 Из теоремы 4.4 следует, что 
и 
,
где 
и 
– бесконечно малые величины. Тогда
.
Но, в соответствии с теоремой 4.1, функция 
является бесконечно малой величиной. Следовательно, 
. 3
g Теорема 4.6. Если , , где А и В – некоторые константы, то 
.
4 Из теоремы 4.4 следует, что 
и 
,
где и – бесконечно малые величины. Тогда
.
В соответствие с теоремами 4.2 и 4.3 выражения 
и 
являются бесконечно малыми величинами. Следовательно,
. 3
Аналогично доказываются следующие утверждения:
1 Теорема 4.7. Если , , где А и В – некоторые константы, причем В ¹ 0, то 
.
1 Теорема 4.8. Если , 
, то
.
1 Теорема 4.9. Пусть , и 
, и пусть существует такая функция 
и такое d > 0, что для любого x ¹ x 0, удовлетворяющего неравенству | x – x 0 | < d выполнено неравенство 
. Тогда 
существует и равен А.
