Формулы Тейлора и Маклорена

Пусть функция определена и имеет производные всех порядков до n -го включительно в некоторой окрестности точки а. Тогда имеет место формула Тейлора:

,

где , а через обозначена бесконечно малая величина более высокого порядка, чем .

При а = 0 формула Тейлора получила называние формулы Маклорена:

. (5.13)

Хорошо известны разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Пример 5.14. Разложить по формуле Маклорена функцию .

Подставляя – x вместо x в формулу Маклорена для функции , получим искомое разложение:

.

Задача 5.15. Написать три первых, отличных от тождественного нуля слагаемых формулы Маклорена для функции .

Решение. Подставляя 2 x вместо x в формулу Маклорена для функции , получим

.

Таким образом, при достаточно малых x, многочлен с точностью до бесконечно малой величины может заменить функцию .

Задача 5.16. Разложить по степеням x – 2 многочлен

.

Решение. Найдем значения :

,

img src="https://www.ok-t.ru/studopediaru/baza7/1445216852993.files/image1816.gif" alt="" />,

,

, .

Остальные производные многочлена четвертой степени тождественно равны нулю. Подставляя найденные производные в формулу Тейлора, получим:

.