Формула Тейлора

Английский математик Брук Тейлор в 1717 году сделал замечательное открытие. Он вывел одну из главных формул математического анализа, имеющую применения в разных областях науки. Тейлор выяснил, что любую дифференцируемую в окрестности некоторой точки функцию с достаточной степенью точности можно заменить многочленом.

Формула Тейлора. Пусть функция имеет в окрестности точки конечные производные до порядка включительно. Тогда для любой точки из этой окрестности имеет место формула:

.

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Остаточный член (последнее слагаемое в данной формуле) определяет степень точности, с которой можно заменить функцию соответствующим многочленом.

Формула Тейлора также может быть записана в виде:

, где

- многочлен Тейлора,

, - остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранжа. есть погрешность приближенного равенства .

Остаточный член может быть записан в форме Пеано, в этом случае при . Такая запись означает, что остаточный член является величиной бесконечно малой более высокого порядка, чем .

Иногда многочлен Тейлора записывают с помощью дифференциалов функции :

Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию в окрестности точки многочленом с точностью, равной значению остаточного члена .