Несобственные интегралы

2 Несобственными интегралами первого рода называются интегралы вида Подынтегральная функция предполагается непрерывной на всем участке интегрирования.

2 Если существует и конечен предел , то говорят, что несобственный интеграл сходится и равен

. (8.19)

Аналогично определяются интегралы и :

, (8.20)

(8.21)
где а – любое действительное число. Причем про последний интеграл говорят, что он сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба составляющих его интеграла.

Задача 8.10. Вычислить несобственный интеграл .

Решение.

следовательно, интеграл расходится.

Задача 8.11. Вычислить несобственный интеграл .

Решение.

. Данный интеграл сходится.

2 Несобственными интегралами второго рода называются интегралы вида: , где подынтегральная функция f (x) имеет бесконечные разрывы на конечном отрезке [ a; b ]. Определяются несобственные интегралы второго рода по-разному, в зависимости от расположения точек разрыва на промежутке [ a; b ].

1) Предположим, что функция f (x) имеет бесконечный разрыв в некоторой внутренней точке области интегрирования (c Î(a; b)) В остальных точках отрезка [ a; b ] функция предполагается непрерывной.

Тогда, если существуют и конечны пределы и , то говорят, что интеграл сходится и равен

. (8.22)
2) Пусть единственная точка разрыва функции f (x) совпадает с точкой а. Тогда, если существует и конечен предел , то говорят, что интеграл сходится, и равен

. (8.23)
3) Пусть единственная точка разрыва функции f (x) совпадает с точкой b. Тогда, если существует и конечен предел , то говорят, что интеграл сходится, и равен

. (8.24)
Всюду предполагается, что e > 0 и d > 0.

Задача 8.12. Вычислить несобственный интеграл .

Решение. Подынтегральная функция имеет разрыв второго рода в точке x = 2. Следовательно,

Задача 8.13. Вычислить несобственный интеграл .

Решение. Подынтегральная функция имеет разрыв второго рода в точке x = 0 (внутри области интегрирования). Следовательно,

Первый предел существует и конечен, но второй предел равен бесконечности ( при ). Следовательно, данный интеграл расходится.

Глава 9. Функции нескольких переменных

§9.1. Определение n -мерного евклидова пространства Rⁿ.

Прежде чем перейти к изучению функций многих переменных полезно ввести понятие n -мерного пространства для любого n = 1, 2, 3,….

2 Точкой x n -мерного пространства (вектором) называется упорядоченная совокупность n действительных чисел .

Число называется i -ой координатой вектора .

2 Расстояние между двумя точками n -мерного пространства и определяется по формуле:

. (9.1)

Расстояние от точки до точки x называется модулем вектора x и обозначается . Из формулы (9.1) следует, что .

В n -мерном пространстве естественным образом вводится понятие скалярного произведения:

Угол между векторами x и y можно определить по формуле:

По прежнему, векторы x и y перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

2Совокупность всех точек n -мерного пространства, в котором определено расстояние согласно формуле (9.1) и скалярное произведение, называется n -мерным евклидовым векторным пространством и обозначается через .

В случае n = 1 пространство совпадает с прямой, в случае n = 2 – с плоскостью, а в случае n = 3 – с пространством.

2 Пусть и . Совокупность всех точек таких, что , называется n -мерным шаром с центром в точке x или e -окрестностью точки x в пространстве и обозначается .

В координатной форме это определение выглядит так:

В случае прямой, т.е. при n = 1, окрестность точки представляет из себя интервал с центром в точке радиуса e. В случае плоскости, т.е. при n = 2, окрестность точки представляет из себя открытый круг с центром в точке радиуса e. В случае пространства, т.е. при n = 3 окрестность точки представляет из себя открытый шар с центром в точке радиуса e.

§9.2. Область определения функции нескольких переменных. Непрерывность

2 Функцией n переменных называется такое правило (закон), по которому каждому набору, состоящему из n переменных , взятому из некоторой области D n -мерного пространства , ставится в соответствие единственное число z. В наиболее простом случае .

2 Функцией 2-х переменных называется такое правило (закон), по которому каждой точке M (x; y), принадлежащей некоторой области D плоскости xOy, ставится в соответствие единственное число z.

Множество точек в пространстве с координатами образуют некоторую поверхность (рис. 9.1), возвышающуюся над областью D (геометрический смысл функции двух переменных).

2 Область D, для которой построено указанное выше соответствие, называется областью определения функции .

Задача 9.1. Найти область определения функции

Решение. Искомая область определения является множеством точек на плоскости xOy, удовлетворяющих системе неравенств . Неравенства и меняют свой знак на противоположный (соответственно) при пересечении следующих линий: x = y и x = 0, y = 0. Эти линии разбивают плоскость xOy на 6 областей. Последовательно, подставляя произвольные точки, из каждой области в систему , убеждаемся в том, что объединение областей (1) и (3) является областью определения исходной функции. Причем прямая x = y, за исключением точки (0; 0), входит в область определения, а прямые x = 0, и y = 0 – не входят (рис. 9.2).

2 Замыканием области называется множество точек пространства , в любой окрестности каждой из которых содержатся точки области D.

Пусть, например, D – некоторая открытая (граница не включается) область на плоскости xOy. Тогда замыкание области получится, если к области D присоединить ее границу Г .

2 Пусть в некоторой области D плоскости xOy задана функция , и пусть – некоторая точка замыкания области D (). Число А называется пределом функции в точке М ₀, если для любого числа e > 0 найдется такое число δ > 0, что для всех точек , отличных от точки М ₀ и удаленных от нее меньше, чем на δ , выполнено неравенство .

2 Функция называется непрерывной в точке если она определена в этой точке () и имеет место равенство .

§9.3. Линии уровня функции двух переменных

2 Линии на плоскости xOy, заданные уравнениями , где С – произвольная константа, называются линиями уровня функции .

Линии уровня являются линиями пересечения поверхности, заданной функцией и плоскости z = C, параллельной плоскости xOy. С помощью линий уровня можно изучать форму поверхности, заданной функцией .

Пример 9.2. Найти линии уровня и определить форму поверхности, заданной уравнением .

Уравнения линий уровня в данном случае имеют вид . При C < 0 уравнение дает пустое множество решений (следовательно, вся поверхность расположена выше плоскости xOy). При C = 0 уравнению линии уровня удовлетворяет только одна точка x = 0, y = 0 (с плоскостью xOy поверхность пересекается только вначале координат). При C > 0 линии уровня являются эллипсами , с полуосями и . Линии уровня, соответствующие различным значениям С, изображены на рис. 9.3. Поверхность, заданная уравнением , называется эллиптическим параболоидом (рис. 9.4).

§9.4. Частные производные первого порядка

Пусть в некоторой области D плоскости xOy задана функция , и – некоторая точка области D.

2 Частной производной функции в точке по переменной x (обозначается или ) называется

, (9.2)
если данный предел существует и конечен.

2 Частной производной функции в точке по переменной y (обозначается или ) называется

, (9.3)
если данный предел существует и конечен.

2 Частной производной функции n переменных в точке по переменной x_i называется

, (9.4)
если данный предел существует и конечен.

Как видно из формул (9.2) – (9.4), частные производные определяются аналогично тому, как определялась производная функции одной переменной. При вычислении предела приращение получает только одна из переменных, остальные переменные приращения не получают и остаются постоянными. Следовательно, частные производные можно вычислять по тем же правилам, что и обычные производные, обращаясь со всеми свободными переменными (кроме той, по которой производится дифференцирование) как с константами.

Задача 9.3. Найти частные производные функции

Решение. .

Задача 9.4. Найти частные производные функции .

Решение. При дифференцировании данной функции по переменной x мы пользуемся правилом дифференцирования степенной функции, а при нахождении частной производной по переменной y – правилом дифференцирования показательной функции:

Задача 9.5. Вычислить частные производные функции в точке .

Решение. Применяя правило дифференцирования сложной функции, найдем частные производные

Подставляя в частные производные координаты точки М, получим

§9.5. Градиент функции нескольких переменных.
Производная по направлению

2 Градиентом функции в точке называется вектор, составленный из частных производных данной функции, вычисленных в данной точке:

. (9.5)

2 Производной функции в точке по направлению вектора называется проекция вектора градиента данной функции, вычисленного в точке М ₀, на данное направление

. (9.6)

Вычисляя проекцию вектора на вектор в соответствие с формулой (2.6), получим

. (9.7)
Замечая, что , где a – угол, который вектор образует с осью OX, получим еще одну формулу для вычисления производной по направлению вектора

. (9.8)

Задача 9.6. Найти градиент функции в точке М ₀(4; 2) и производную по направлению вектора

Решение. Найдем частные производные

Вычислим значения частных производных в точке М ₀:

Градиент функции в точке М ₀ найдем по формуле (9.5):

Производную функции в точке М ₀ по направлению вектора найдем по формуле (9.7):

Задача 9.7. В точке М ₀(0; 1) вычислить производную функции по направлению биссектрисы второго координатного угла.

Решение. Найдем частные производные функции :

Вычислим значения частных производных и градиент функции в точке М ₀:

Производную функции в точке М ₀ по направлению биссектрисы второго координатного угла (данное направление составляет с осью OX угол a = 135°) найдем по формуле (9.8):

§9.6. Дифференциал функции нескольких переменных
и его применение к приближенным вычислениям

1 Если в точке функция имеет непрерывные частные производные и , то ее полное приращение при переходе от точки М ₀ к точке может быть представлено в виде:

, (9.9)
где при , .

2 Выражение называется полным дифференциалом функции в точке .

Из формулы (9.9) следует, что дифференциал функции является главной линейной частью полного приращения функции . При достаточно млых D x и D y выражение существенно меньше дифференциала и им можно пренебречь. Таким образом, мы приходим к следующей приближенной формуле:

. (9.10)
Замечание. Формулой (9.10) можно пользоваться для приближенного вычисления значений функций только в точках , достаточно близких к точке . Чем меньше значение , тем точнее значение , найденное по формуле (9.9).

Пример 9.8. Вычислить приближенно, с помощью дифференциала.

Рассмотрим функцию . Требуется вычислить значение z ₁этой функции в точке (x ₁; y ₁) = (0,09; 6,95). Воспользуемся приближенной формулой (9.9), выбрав в качестве точки точку (0; 7). Тогда D x = x ₁ – x ₀ = 0,09 – 0 = 0,09, D y = y ₁ – y ₀ = 6,95 – 7 = – 0,05.

Итак,

Следовательно,

§9.7. Частные производные высших порядков

Пусть в области D задана функция , имеющая в этой области непрерывные частные производные и . Таким образом, в области D мы получили две новые непрерывные функции двух переменных и . Если в некоторой точке области D функции и имеют частные производные как по переменной x, так и по переменой y, то эти производные называются производными второго порядка функции . Они обозначаются следующим образом:

, ,

, .

1 Если в некоторой точке области D функция имеет непрерывные смешанные производные и , то в точке эти производные равны: .

Из данной теоремы следует, что у функции двух переменных, имеющей непрерывные производные второго порядка достаточно найти не четыре, а всего лишь три производные второго порядка.

Пример 9.9. Найти все вторые частные производные функции и убедиться в том, что смешанные производные равны .

6) Найдем частные производные первого порядка:

Найдем частные производные второго порядка:

Таким образом, .

Аналогично тому, как были определены частные производные второго порядка, можно определить частные производные более высоких порядков.

Задача 9.10. Найти частную производную третьего порядка функции .

Решение. Последовательно дифференцируя исходную функцию дважды по переменной x, а затем, по переменой y получим:

§9.8. Экстремум функции двух переменных

Предположим, что в некоторой области D задана некоторая непрерывная функция .

2 Точка называется точкой максимума (локального максимума) функции , если существует такая окрестность U точки , целиком лежащая в области D, во всех точках которой выполнено неравенство:

2 Точка называется точкой минимума (локального минимума) функции , если существует такая окрестность U точки , целиком лежащая в области D, во всех точках которой выполнено неравенство:

2 Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

1 Необходимое условие экстремума функции двух переменных. Пусть в точке функция имеет непрерывные частные производные. Тогда для того чтобы функция имела экстремум в точке , необходимо выполнение условий:

. (9.11)

2 Если в некоторой точке выполнены условия (9.11), то точка называется стационарной (подозрительной на экстремум) точкой функции .

1 Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Пусть в стационарной точке функция имеет непрерывные частные производные второго порядка , , . Обозначим через – дискриминант функции в точке . Тогда

1) если , то функция имеет экстремум в точке . А именно локальный максимум, при (или ) и локальный минимум, при (или ).

2) если , то функция в точке экстремума не имеет.

3) если , то вопрос о наличии экстремума функции в точке решается с помощью производных более высокого порядка и формулы Тейлора. В данном пособии соответствующие исследования не приводятся.

Задача 9.11. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдем частные производные первого порядка: , . Приравняем полученные частные производные к нулю. Получим систему уравнений для определения точек, подозрительных на экстремум: